Question

【題目】如圖所示，⊙D 的半徑為3，A是圓D外一點(diǎn)且AD=5，AB，AC分別與⊙D相切于點(diǎn)B，C．G是劣弧BC上任意一點(diǎn)，過G作⊙D的切線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．

（1）求△AEF的周長(zhǎng)；

（2）當(dāng)G為線段AD與⊙D的交點(diǎn)時(shí)，連結(jié)CD，則五邊形DBEFC的面積是多少？．

Answer 1

【答案】(1)8;(2)9.

【解析】

（1）通過作輔助線，連接ED，DG，FD，CD，利用切線長(zhǎng)定理就可證明BE=EG，FG=FC，則△AEF的周長(zhǎng)是：AE+EG+FG+AF=AB+AC，據(jù)此即可求解；
（2）如圖，當(dāng)G為線段AD與⊙D的交點(diǎn)時(shí)，EF于AD垂直，根據(jù)△AEG∽△ADB求得EF的長(zhǎng)，根據(jù)S五邊形DBEFC=S四邊形ABDC-S△AEF求解．

解：（1）如圖1所示：連接ED，DG，FD，CD，

∵AB，AC分別與⊙D相切于點(diǎn)B，C，

∴AB=AC，∠ABD=∠ACD=90°，

∵⊙D 的半徑為3，A是圓D外一點(diǎn)且AD=5，

∴AB=4，

∵過G作⊙D的切線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，

∴BE=EG，FG=FC，則△AEF的周長(zhǎng)是：AE+EG+FG+AF=AB+AC=8．

（2）如圖2，AG=AD﹣DG=5﹣3=2．

∵在△AEG和△ADB中，∠ABD=∠AGD=90°，∠BAD=∠EAG，

∴△AEG∽△ADB，

∴，∴EG=，

∴EF=2EG=3，∴S△AEF=EF·AG=×3×2=3．

又∵S四邊形ABDC=2S△ABD=ABBD=3×4=12，

∴S五邊形DBEFC=12﹣3=9．