Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，點(diǎn)D為直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AD．將線段AD繞點(diǎn)D按順吋針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連結(jié)EC．

（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，依題意畫圖得到圖2．

①求證：∠BAD＝∠EDC；

②方方同學(xué)通過觀察、測量得出結(jié)論：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，總有∠DCE＝135°．方方的主要思路有以下幾個(gè)：

思路一：在AB上取一點(diǎn)F使得BF＝BD，要證∠DCE＝135°，只需證△ADF≌△DEC．

思路二：以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑畫弧交AC于點(diǎn)F，要證∠DCE＝135°，只需證△AFD≌△ECD．

思路三：過點(diǎn)E作BC所在直線的垂線段EF，要證∠DCE＝135°，只需證EF＝CF．

……

請你參考井選擇其中一個(gè)思路，證明∠DCE＝135°；

（2）如果點(diǎn)D在線段CB的延長線上運(yùn)動(dòng)，利用圖3畫圖分析，∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎？如果是，請寫出∠DCE的度數(shù)并說明理由；如果不是，也請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）∠DCE＝45°，理由見解析

【解析】

（1）①根據(jù)余角的性質(zhì)得到結(jié)論；②證法1：如圖1，在AB上取點(diǎn)F，使得BF＝BD，連接DF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BFD＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCE＝∠AFD＝135°；證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；證法3：過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）過E作EF⊥DC于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DB＝EF，AB＝DF＝BC，根據(jù)線段的和差得到FC＝EF，于是得到結(jié)論．

解：（1）①證明：∵∠B＝90°，

∴∠BAD+∠BDA＝90°，

∵∠ADE＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，

∴∠BAD+∠EDC＝90°，

∴∠BAD＝∠EDC；

②證法1：如圖1，在AB上取點(diǎn)F，使得BF＝BD，連接DF，

∵BF＝BD，∠B＝90°，

∴∠BFD＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BA＝BC，

∴AF＝CD，

在△ADF和△DEC中，，

∴△ADF≌△DEC，（SAS），

∴∠DCE＝∠AFD＝135°；

證法2：如圖2，以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點(diǎn)F，連接DF，

∴DC＝DF，∠DFC＝∠DCF，

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝45°，∠DFC＝45°，

∴∠DFC＝90°，∠AFD＝135°，

∵∠ADE＝∠FDC＝90°，

∴∠ADF＝∠EDC，

在△ADF≌△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE，（SAS），

∴∠AFD＝∠DCE＝135°；

證法3：如圖3，過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，

∴∠EFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠EFD＝∠B，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，（AAS），

∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，

∴BC＝DF，BC﹣DC＝DF﹣DC，

即BD＝CF，

∴EF＝CF，

∵∠EFC＝90°，

∴∠ECF＝45°，∠DCE＝135°；

（2）解：∠DCE＝45°，

理由：如圖4，過E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD＝90°，

∴∠EDF＝∠DAB＝90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，（AAS），

∴DB＝EF，AB＝DF＝BC，

∴BC﹣BF＝DF﹣BF，

即FC＝DB，

∴FC＝EF，

∴∠DCE＝45°．