Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)O和B（﹣4，4），且對(duì)稱軸為直線x=．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）D是直線OB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OD，BD，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△OBD面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)和△OBD的最大面積；

（3）如圖2，若點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，直接寫出滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x，（2）當(dāng)m=﹣2時(shí)，S△BOD有最大值，最大值為8，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，）．

【解析】

根據(jù)條件運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．

過(guò)D點(diǎn)作DC∥y軸交OB于C，再設(shè)點(diǎn)D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），則C（m，﹣m），再利用三角形面積公式計(jì)算化簡(jiǎn)S△BOD=﹣2（m+2）2+8即可求出結(jié)果.

作BK⊥y軸于K，BI⊥x軸于I，BN交y軸于M點(diǎn)，易得四邊形BIOK為正方形，再利用全等三角判定定理得出Rt△BIA≌Rt△BKM，列出方程組和利用（2）的條件進(jìn)行討論即可求解.

解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=．

∴A（﹣3，0），

設(shè)拋物線解析式為y=ax（x+3），

把B（﹣4，4）代入得a（﹣4）（﹣4+3）=4，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x（x+3），即y=x2+3x，

（2）過(guò)D點(diǎn)作DC∥y軸交OB于C，如圖1，

直線OB的解析式為y=﹣x，

設(shè)D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），則C（m，﹣m），

∴DC=﹣m﹣（m2+3m）=﹣m2﹣4m，

∴S△BOD=S△BCD+S△OCD=4DC=﹣2m2﹣8m=﹣2（m+2）2+8，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S△BOD有最大值，最大值為8，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；

（3）作BK⊥y軸于K，BI⊥x軸于I，BN交y軸于M點(diǎn)，如圖2，

易得四邊形BIOK為正方形，

∵∠NBO=∠ABO，

∴∠IBA=∠KBM，

而BI=KM，

∴Rt△BIA≌Rt△BKM，

∴KM=AI=1，

∴M（0，3），

設(shè)直線BN的解析式為y=px+q，

把B（﹣4，4），M（0，3）代入得，解得，

∴直線BN的解析式為y=﹣x+3，

解方程組得或，

∴N（，），

∵OB=4，OD=2，

∴=，

∴△POD與△NOB的相似比為1：2，

過(guò)OB的中點(diǎn)E作EF∥BN交ON于F，如圖2，

∴△FOE∽△NOB，它們的相似比為1：2，

∴F點(diǎn)為ON的中點(diǎn)，

∴F（，），

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)P′與點(diǎn)F關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，△P′OD≌△FOE，則△P′OD∽△NOB，此時(shí)P′（，﹣）；

作P′點(diǎn)關(guān)于OD的對(duì)稱點(diǎn)P″，則△P″OD≌△P′OD，則△P″OD∽△NOB，此時(shí)P″（﹣，），

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，）．