【題目】如圖,已知直線y=-2x+12分別與y軸,x軸交于AB兩點(diǎn),點(diǎn)My軸上,以點(diǎn)M為圓心的⊙M與直線AB相切于點(diǎn)D,連接MD.

(1)求證:△ADM∽△AOB.

(2)如果⊙M的半徑為2,請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo),并寫(xiě)出以點(diǎn)為頂點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)M的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(3)(2)的條件下,試問(wèn)在此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以P,AM三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?如果存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)y=-2;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-5,2),(-4,10).

【解析】

1)依題意得出MDAB繼而推出∠MDA=∠AOB,∠MAD=∠BAO,然后可證明;

2)設(shè)A0m),由直線y2x12可知,OA12,OB6,則AM12m,DM2,利用勾股定理得AB6,由ADM∽△AOB,利用相似比求m的值即可,設(shè)拋物線頂點(diǎn)式,將M點(diǎn)坐標(biāo)代入,可求拋物線解析式;

3)存在,AOB中,OAOB12621,則所求直角三角形兩直角邊的比為21,根據(jù)PAM中,頂點(diǎn)P,A,M分別為直角頂點(diǎn),根據(jù)拋物線解析式分別求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

(1)AB是⊙M的切線,D是切點(diǎn),

MDAB,

∴∠MDA90°=∠AOB.

又∵∠MAD=∠BAO,

∴△ADM∽△AOB.

(2)設(shè)M(0,m),由直線y=-2x12OA12OB6,則AM12m,而DM2,

RtAOB中,AB.,

∵△ADM∽△AOB,

,

,

解得m2,

M(02)

設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為ya2,將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入,得a22,解得a=-2

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-22;

(3)存在.①當(dāng)頂點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí),M,P兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x=-對(duì)稱,此時(shí)MP5,AM12210AMMP2,符合題意,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,2)

②當(dāng)頂點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為12,代入拋物線表達(dá)式,得-2212,解得x=-,此時(shí)AP,AM10,不符合題意;

③當(dāng)頂點(diǎn)P′為直角頂點(diǎn)時(shí),則由相似三角形的性質(zhì)可設(shè)P′的坐標(biāo)為(n,-2n2)(2m,m2).若P′(n,-2n2),則-2nn10,解得n=-4;當(dāng)x=-4時(shí),y=-10,-2n210,符合題意;

P′(2mm2),則4m+m10,解得m2,當(dāng)x=-2m=-4時(shí),y=-10,m24,不符合題意.

綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,2)(4,10)

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2)連接 ,,若 ,,則 ;

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思路一:在AB上取一點(diǎn)F使得BFBD,要證∠DCE135°,只需證△ADF≌△DEC

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思路三:過(guò)點(diǎn)EBC所在直線的垂線段EF,要證∠DCE135°,只需證EFCF

……

請(qǐng)你參考井選擇其中一個(gè)思路,證明∠DCE135°

2)如果點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),利用圖3畫(huà)圖分析,∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎?如果是,請(qǐng)寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)并說(shuō)明理由;如果不是,也請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

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