【題目】已知四邊形ABCD是正方形,等腰直角△AEF的直角頂點EBC上,(不與B、C重合)FMAD,交射線AD于點M

(1)如圖1,當點E在邊BC的延長線上,點M在邊AD上時,請直接寫出線段AB,BEAM之間的數(shù)量關系,不需要證明.

(2)如圖2,當點E在邊BC上,點M在邊AD的延長線上時,請寫出線段AB,BE,AM之間的數(shù)量關系,并且證明你的結論.

(3)如圖3,當點E在邊CB的延長線上,點M在邊AD上時,若BE,∠AFM15°,求AM的長度.

【答案】(1)AB+AMBE;(2)AMBE+AB(3)AM3

【解析】

(1)證明ABE≌△EHF(AAS),可得結論:BEAM+AB;

(2)根據(jù)AAS證明ABE≌△EHF,可得結論:AMBE+AB

(3)首先由∠AFM15°,易得∠EAB30°,由ABE≌△EHF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得ABEH,利用銳角三角函數(shù)易得AB,最后可以計算AM的長.

(1)AB+AMBE.理由是:如圖1,

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABC=∠BAD90°

∴∠BAE+AEB90°,

∵∠AEF=∠AEB+HEF90°,

∴∠BAE=∠HEF,

ABEEHF中,

,

∴△ABE≌△EHF(AAS),

ABEH,

FMAD

∴∠AMH=∠BAD=∠ABC90°

∴四邊形ABHM是矩形,

AMBH

BEBH+EHAM+AB

(2)如圖2,AMBE+AB

證明:延長MF,交BC延長線于H

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠BAM=∠B90°

FMAD,

∴∠AMF90°

∴四邊形ABHM為矩形,

AMBH

∵△AEF是等腰直角三角形,

AEEF,∠AEF90°,

∴∠AEB+FEH90°,

∵∠B90°,

∴∠AEB+BAE90°,

∴∠FEH=∠BAE,

∵∠B=∠EHF90°,

∴△ABE≌△EHF(AAS),

ABEH

AMBHBE+EHBE+AB

(3)如圖3,FMBC相交于H

∵△AEF是等腰直角三角形,

AEEF,∠AEF90°,

∴∠EAF45°,

同理得:四邊形ABHM是矩形,

AMBH,

ABFM,

∴∠BAF=∠AFM15°

∴∠BAE=∠EAF﹣∠BAF45°15°30°

RtABE中,BE,

ABBE3

同理得:ABE≌△EHF,

EHAB3,

BHEHBE3,

AMBH3

練習冊系列答案
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求作:ABC,使得AB=AC,BC=a,BC邊上的高為b

作法:如圖2,

①作射線BM,并在射線BM上截取BC=a

②作線段BC的垂直平分線PQ,PQBCD;

③以D為圓心,b為半徑作圓,交PQA;

④連接ABAC

ABC就是所求作的圖形.

根據(jù)上述作圖過程,回答問題:

1)用直尺和圓規(guī),補全圖2中的圖形;

2)完成下面的證明:

證明:由作圖可知BC=a,AD=b

PQ為線段BC的垂直平分線,點APQ上,

AB=AC______)(填依據(jù)).

又∵AD在線段BC的垂直平分線PQ上,

ADBC

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