Question

已知點A（0，2）、B（，2）、C（0，4）.

（1）如圖1，連接BO、BC、AB .
①填空：AC的長為      ，AB的長為      ；
②試判斷的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接BP，以BP為一邊在△ABP外側(cè)作等邊△BPQ，當(dāng)四邊形ABQP為梯形時，求點P的橫坐標.

Answer 1

（1）①2，；②等邊三角形；（2）或0或.

試題分析：（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合點A、B、C的坐標即可求得結(jié)果；
②由A（0，2），B（，2）可得，在中，根據(jù)∠AOB的正切函數(shù)值即可得到，同理，即可得到結(jié)果；
（2）分三種情況：①當(dāng)PQ∥AB時，②當(dāng)P點與C點重合時，③當(dāng)BP⊥CP時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、梯形的性質(zhì)分析即可.
（1）①AC的長為2，AB的長為；
②△OBC是等邊三角形. 理由如下：
∵A（0，2），B（，2）
∴
在中， 
∴，同理
∴△OBC是等邊三角形；
（2）分三種情況討論：
①當(dāng)PQ∥AB時（如圖1）：
點Q在CP上，作于D，則四邊形是矩形
∴
∵△BPQ是等邊三角形，
∴BD平分PQ，平分
∴
∴
∴點P的橫坐標是；

②如圖2，當(dāng)P點與C點重合時，
∵在中，
∴，∵
∴，∴BQ∥AC,又CQ與AB不平行
∴四邊形 ABQP是梯形.
∴點P的橫坐標是0；
③如圖3，當(dāng)BP⊥CP時，
∵CP∥AB
∴BP⊥AB
∵在中，
∴
∵△BPQ是等邊三角形
∴
∴
∴AP∥BQ
∴四邊形 ABQP是梯形
∴點P的橫坐標為
綜上所述，四邊形ABQP為梯形時，點P的橫坐標是或0或.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．