Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形AOCB的邊長為1，點D在x軸的正半軸上，且OD=OB，BD交OC于點E．
（1）求∠BEC的度數(shù)．
（2）求過B、O、D三點的拋物線的解析式．
（3）求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠AOB=∠COB=45°，根據(jù)等邊對等角可得∠OBE=∠ODE，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠OBE，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BEC=∠OBE+∠COB；
（2）根據(jù)正方形的邊長寫出點B的坐標(biāo)，利用勾股定理求出OB，再寫出點D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）求出△BCE和△DOE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出

CE

OE

，然后求出OE的長度，再寫出點E的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵四邊形AOCB是正方形，
∴∠AOB=∠COB=45°，
∵OD=OB，
∴∠OBE=∠ODE，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠OBE+∠ODE=∠AOB=45°，
∴∠OBE=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠BEC=∠OBE+∠COB=22.5°+45°=67.5°；

（2）∵正方形AOCB的邊長為1，
∴點B的坐標(biāo)為（-1，1），OB=

12+12

=

2

，
∴點D的坐標(biāo)為（

2

，0），
設(shè)過B、O、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
則

a-b=1 2a+ 2 b=0

，
解得

a= 2 -1 b= 2 -2

．
所以拋物線解析式為y=（

2

-1）x²+（

2

-2）x；

（3）∵BC∥AD，
∴△BCE∽△DOE，
∴

CE

OE

=

BC

OD

=

1

2

，
∴OE=1×

2

2 +1

=2-

2

，
所以點E的坐標(biāo)為（0，2-

2

）．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，計算時要注意分母有理化．