Question

如圖，DEFG為正方形，A、H分別是FG、GD的中點，DA分別與GE、HE相交于B、C，則AB：BC：CD=

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得GF=DG=DE，再求出AG=DH，然后利用“邊角邊”證明△AGD和△HDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=EH，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADG=∠HED，然后求出AD⊥EH，設(shè)正方形的邊長為2a，由勾股定理列式求出EH，再利用三角形的面積列方程求出CD，利用△ABG和△DBE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出

AB

BD

=

1

2

，再求出AB，然后表示出BC，再求出比值即可．

解答：解：∵DEFG為正方形，
∴GF=DG=DE，
∵A、H分別是FG、GD的中點，
∴AG=DH，
在△AGD和△HDE中，

AG=DH ∠DGF=∠GDE=90° DG=DE

，
∴△AGD≌△HDE（SAS），
∴AD=EH，∠ADG=∠HED，
∵∠HED+∠CDE=∠ADG+∠CDE=∠GDE=90°，
∴∠DCE=90°，
∴AD⊥EH，
設(shè)正方形的邊長為2a，則AD=EH=

(2a)2+a2

=

5

a，
∵S_△DEH=

1

2

×

5

a•CD=

1

2

×2a•a，
解得CD=

2 5

5

a，
∵AG∥DE，
∴△ABG∽△DBE，
∴

AB

BD

=

AG

DE

=

1

2

，
∴

AB

AD

=

1

1+2

=

1

3

，
∴AB=

5

3

a，
∴BC=

5

a-

5

3

a-

2 5

5

a=

4 5

15

a，
∴AB：BC：CD=

5

3

a：

4 5

15

a：

2 5

5

a=5：4：6．
故答案為：5：4：6．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，設(shè)出正方形的邊長，然后分別表示出AB、BC、CD更容易理解．