Question

已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2．
操作：如圖1，將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處(點(diǎn)P與C、D不重合)，折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G．

探究：小題1:(1)觀察操作結(jié)果，找到一個(gè)與△DEP相似的三角形，并證明你的結(jié)論；
小題2:(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與△DEP周長(zhǎng)的比是多少？

Answer 1

小題1:(1) 與相似．……………1分
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°．
由折疊知 ∠EPQ＝∠A＝90°．
∴∠PED+∠DPE＝90°，∠DPE+∠CPG＝90°．
∴∠PED＝∠CPG．
∴∽．
小題2:(2)設(shè)ED＝x，則AE＝，
由折疊可知：EP＝AE＝．
∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，∴DP＝1．
∵∠D＝90°，∴， ……………8分
即解得 ．∴．……………………………10分
∵∽，∴．∴與周長(zhǎng)的比為4∶3

略