【題目】如圖,點E是正方形ABCD對角線AC上一點,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分別為E,F(xiàn),若正方形ABCD的周長是40cm.
(1)求證:四邊形BFEG是矩形;
(2)求四邊形EFBG的周長;
(3)當(dāng)AF的長為多少時,四邊形BFEG是正方形?

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,

∴AB⊥BC,∠B=90°.

∵EF⊥AB,EG⊥BC,

∴EF∥GB,EG∥BF.

∵∠B=90°,

∴四邊形BFEG是矩形


(2)解:∵正方形ABCD的周長是40cm,

∴AB=40÷4=10cm.

∵四邊形ABCD為正方形,

∴△AEF為等腰直角三角形,

∴AF=EF,

∴四邊形EFBG的周長C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm


(3)解:若要四邊形BFEG是正方形,只需EF=BF,

∵AF=EF,AB=10cm,

∴當(dāng)AF=5cm時,四邊形BFEG是正方形


【解析】(1)由正方形的性質(zhì)可得出AB⊥BC、∠B=90°,根據(jù)EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一條直線的兩直線互相平行”,即可得出EF∥GB、EG∥BF,再結(jié)合∠B=90°,即可證出四邊形BFEG是矩形;(2)由正方形的周長可求出正方形的邊長,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出△AEF為等腰直角三角形,進(jìn)而可得出AF=EF,再根據(jù)矩形的周長公式即可求出結(jié)論;(3)由正方形的判定可知:若要四邊形BFEG是正方形,只需EF=BF,結(jié)合AF=EF、AB=10cm,即可得出結(jié)論.

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(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,AF與CE總保持相等;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,說明理由并求出此時∠AOF度數(shù).

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