【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,連接BC.
(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)若點P為線段BC上一點(不與B,C重合),PM∥y軸,且PM交拋物線于點M,交x軸于點N,當△BCM的面積最大時,求△BPN的周長;
(3)在(2)的條件下,當△BCM的面積最大時,在拋物線的對稱軸上存在一點Q,使得△CNQ為直角三角形,求點Q的坐標.
【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3);(2)3+;(3)Q1(1, ),Q2(1, ),Q3(1,﹣),Q4(1, ).
【解析】試題分析:(1)依據(jù)拋物線的解析式直接求得C的坐標,令y=0解方程即可求得A、B點的坐標;
(2)求出△BCM面積的表達式,這是一個二次函數(shù),求出其取最大值的條件;然后利用勾股定理求出△BPN的周長;
(3)如解答圖,△CNQ為直角三角形,分三種情況:①點Q為直角頂點;②點N為直角頂點;③點C為直角頂點進行解答.
試題解析:(1)由拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3,
∴C(0,3),
令y=0,﹣x2+2x+3=0,解得x=3或x=﹣1;
∴A(﹣1,0),B(3,0).
(2)設直線BC的解析式為:y=kx+b,則有:
,解得,
∴直線BC的解析式為:y=﹣x+3.
設P(x,﹣x+3),則M(x,﹣x2+2x+3),
∴PM=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x.
∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM(xP﹣xC)+PM(xB﹣xP)=PM(xB﹣xC)=PM.
∴S△BCM=(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+.
∴當x=時,△BCM的面積最大.
此時P, ),∴PN=ON=,
∴BN=OB﹣ON=3﹣=.
在Rt△BPN中,由勾股定理得:PB=.
C△BCN=BN+PN+PB=3+.
∴當△BCM的面積最大時,△BPN的周長為3+.
(3)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4
∴拋物線的對稱軸為直線x=1.
在Rt△CNO中,OC=3,ON=,由勾股定理得:CN=.
設點D為CN中點,則D(, ),CD=ND=.
如解答圖,△CNQ為直角三角形,
①若點Q為直角頂點.
作Rt△CNO的外接圓⊙D,與對稱軸交于Q1、Q2兩點,由圓周角定理可知,Q1、Q2兩點符合題意.
連接Q1D,則Q1D=CD=ND=.
過點D(, )作對稱軸的垂線,垂足為E,
則E(1, ),Q1E=Q2E,DE=1﹣=.
在Rt△Q1DE中,由勾股定理得:
Q1E==.
∴Q1(1, ),Q2(1, );
②若點N為直角頂點.
過點N作NF⊥CN,交對稱軸于點Q3,交y軸于點F.
易證Rt△NFO∽Rt△CNO,則,即,解得OF=.
∴F(0,﹣),又∵N(,0),
∴可求得直線FN的解析式為:y=x﹣.
當x=1時,y=﹣,
∴Q3(1,﹣ );
③當點C為直角頂點時.
過點C作Q4C⊥CN,交對稱軸于點Q4.
∵Q4C∥FN,∴可設直線Q4C的解析式為:y=x+b,
∵點C(0,3)在該直線上,∴b=3.
∴直線Q4C的解析式為:y=x+3,
當x=1時,y=,
∴Q4(1, ).
綜上所述,滿足條件的點Q有4個,
其坐標分別為:Q1(1, ),Q2(1, ),Q3(1,﹣),Q4(1, ).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖,已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心O,支架CD與水平面AE垂直,AB=150厘米,∠BAC=30°,另一根輔助支架DE=40厘米,∠CED=60°.
(1)求垂直支架CD的長度;
(2)求水箱半徑OD的長度.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點D為邊CB上的一個動點(點D不與點B重合),過D作DO⊥AB,垂足為O,點B′在邊AB上,且與點B關于直線DO對稱,連接DB′,AD.
(1)求證:△DOB∽△ACB;
(2)若AD平分∠CAB,求線段BD的長;
(3)當△AB′D為等腰三角形時,求線段BD的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥BC于點B,DC⊥BC于點C,DE平分∠ADC交BC于點E,點F為線段CD延長線上一點,∠BAF=∠EDF.求證:∠DAF=∠F.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市從不同學校隨機抽取100名初中生對“使用數(shù)學教輔用書的冊數(shù)”進行調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果如下:
冊數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
人數(shù) | 10 | 20 | 30 | 40 |
關于這組數(shù)據(jù),下列說法正確的是( 。
A.眾數(shù)是2冊B.中位數(shù)是2冊
C.平均數(shù)是3冊D.方差是1.5
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三點在數(shù)軸上,點表示的數(shù)是,從點出發(fā)向右平移7個單位長度得到點。
(1)求出點表示的數(shù),畫一條數(shù)軸并在數(shù)軸上標出點和點;
(2)若此數(shù)軸在一張紙上,將紙沿某一條直線對折,此時點與表示數(shù)的點剛好重合,折痕與數(shù)軸有一個交點,求點表示的數(shù)的相反數(shù)(原卷無此問);
(3)在數(shù)軸上有一點,點到點和點的距離之和為11,求點所表示的數(shù);
(4)從初始位置分別以1單位長度和2單位長度的速度同時向左運動,是否存在的值,使秒后點到的距離與點到原點距離相等?若存在請求出的值;若不存在,請說明理由。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)若直線上有個點,一共有________條線段;
若直線上有個點,一共有________條線段;
若直線上有個點,一共有________條線段;
若直線上有個點,一共有________條線段;
(2)有公共頂點的條射線可以組成_____個小于平角的角;
有公共頂點的條射線最多可以組成_____個小于平角的角;
有公共頂點的條射線最多可以組成_____個小于平角的角;
有公共頂點的條射線最多可以組成_____個小于平角的角;
(3)你學過的知識里還有滿足類似規(guī)律的嗎?試看寫一個.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,射線OC在∠AOB的內(nèi)部,圖中共有3個角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.如圖②,若,且射線PQ繞點P從PN位置開始,以每秒15°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),當PQ與PN成180°時,PQ與PM同時停止旋轉(zhuǎn),設旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時,t的值為________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是等腰△ABC底邊BC上的高.點O是AC中點,延長DO到E,使OE=OD,連接AE,CE.
(1)求證:四邊形ADCE的是矩形;
(2)若AB=17,BC=16,求四邊形ADCE的面積.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com