Question

如圖，⊙O的直徑BC=8，過點(diǎn)C作⊙O的切線m，D是直線m上一點(diǎn)，且DC=4，A是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD交⊙O于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AF⊥AD交直線m于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，連結(jié)GH交BC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)A是BO的中點(diǎn)時(shí)，求AF的長；
（2）若∠AGH=∠AFD，
①GE與EH相等嗎？請(qǐng)說明理由；
②求△AGH的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由BC=8，A是OB的中點(diǎn)得到AC=6，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ACD=∠ACF=90°，而∠DAF=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ADC=∠CAF，于是可判△ACD∽△FCA，利用相似比可計(jì)算出FC=9，然后在Rt△AFC中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AF=3

13

；
（2）①由于∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠AHE=∠FAC，則EA=EH，同理可得EA=EG，所以GE=EH
②由于GE=EH，即BC平分GE，根據(jù)直徑互相平分和垂徑定理得到GH是圓O的直徑或GH⊥BC，分類討論：當(dāng)GH是直徑（即A與B重合，E與O重合），則GH=8，
由（1）得到△ACD∽△FCA，利用相似比求出FC=16，則FD=20，再根據(jù)相似的性質(zhì)由△AGH∽△AFD得到

S△AGH

S△AFD

=（

HG

FD

）²，可計(jì)算得到S_△AGH=

64

5

；當(dāng)GH⊥BC，由于AC垂直平分GH，則AG=AH，且GH∥FD，而∠GAH=90°，所以∠AGH=45°，則∠D=∠AGH=45°，于是可判斷△ACD為等腰直角三角形，AC=CD=4，而OC=4，所以A、O點(diǎn)重合，則有AG=AH=4，然后根據(jù)三角形面積公式得到△AGH的面積=8．

解答：解：（1）∵BC=8，A是OB的中點(diǎn)，
∴AC=6，
又∵DC為⊙O的切線，
∴∠ACD=∠ACF=90°，
∵AD⊥AF，
∴∠DAF=90°，
∴∠ADC=∠CAF，
∴△ACD∽△FCA，
∴CD：AC=AC：FC，即4：6=6：FC，
∴FC=9，
在Rt△AFC中，AF=

AC2+CF2

=

62+92

=3

13

；
（2）①GE=EH，理由如下：
∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG=90°，
∴∠AHE=∠FAC，
∴EA=EH，
同理可得EA=EG，
∴GE=EH；
②∵GE=EH，即BC平分GE，
∴GH是圓O的直徑或GH⊥BC，
如圖1，當(dāng)GH是直徑（即A與B重合，E與O重合），則GH=8，
由（1）得到△ACD∽△FCA，
∴

AC

FC

=

CD

AC

，即

8

FC

=

4

8

，解得FC=16，
∴FD=FC+CD=20，
∵△AGH∽△AFD，
∴

S△AGH

S△AFD

=（

HG

FD

）²，
∴S_△AGH=（

8

20

）²×

1

2

×8×20=

64

5

；
如圖2，若GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，
∴AG=AH，且GH∥FD，
而∠GAH=90°，則∠AGH=45°，
∴∠D=∠AGH=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴AC=CD=4，
而OC=4，
∴A、O點(diǎn)重合，
∴AG=AH=4，
∴△AGH的面積=

1

2

×4×4=8，
即△AGH的面積為8或

64

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)．