Question

如圖1，拋物線y=-x²+2bx+c（b＞0）與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，分別作點(diǎn)P，C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P′，C′，順次連接四點(diǎn)得四邊形PC P′C′．
（1）當(dāng)b=c=1時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)b=2，四邊形PC P′C′為矩形時(shí)（如圖2），求c的值；
（3）請(qǐng)你探究：四邊形PCP′C′能否成為正方形？若能，求出符合條件的b，c的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)b=c=1時(shí)，直接代入再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，y=-x²+2bx+c=-x²+4x+c=-（x-2）²+4+c，則頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4+c），再利用矩形的性質(zhì)得出OP=OC，結(jié)合勾股定理求出即可；
（3）當(dāng)四邊形PCP′C′能成為正方形時(shí)，PP′⊥CC′且OP=OC，則此時(shí)點(diǎn)P必在x軸上，利用公式

4×(-1)×c-(2b)2

4×(-1)

=c+b²=0 ①，進(jìn)而得出OP=OC，點(diǎn)C必在y軸的負(fù)半軸上，則b=-c②，求出b，c即可．

解答：解：（1）當(dāng)b=c=1時(shí)，y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）當(dāng)b=2時(shí)，y=-x²+2bx+c=-x²+4x+c=-（x-2）²+4+c，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4+c），
當(dāng)x=0時(shí)，y=c，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），
當(dāng)四邊形PC P′C′為矩形時(shí)OP=OC，
即2²+（4+c）²=c²，
解得：c=-

5

2

；

（3）當(dāng)四邊形PCP′C′能成為正方形時(shí)，PP′⊥CC′且OP=OC
此時(shí)點(diǎn)P必在x軸上，∴

4×(-1)×c-(2b)2

4×(-1)

=c+b²=0 ①，
∵OP=OC，點(diǎn)C必在y軸的負(fù)半軸上，∴b=-c②，
由①②得，c=0（舍去），c=-1，b=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)綜合等知識(shí)，結(jié)合正方形的性質(zhì)得出點(diǎn)P必在x軸上，點(diǎn)C必在y軸的負(fù)半軸上是解題關(guān)鍵．