Question

如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連接AC，BC，作∠APC的平分線交AC于點(diǎn)D．
下列結(jié)論正確的是

 

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①△CPD∽△DPA；
②若∠A=30°，則PC=

3

BC；
③若∠CPA=30°，則PB=OB；
④無(wú)論點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如何變化，∠CDP為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),三角形的角平分線、中線和高,三角形的外角性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：①只有一組對(duì)應(yīng)邊相等，所以錯(cuò)誤；
②根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB=

3

OC=

3

BC；
③根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，進(jìn)而求得PB=BC=OB；
④連接OC，根據(jù)題意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．

解答：解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，
∴△CPD∽△DPA錯(cuò)誤；

②連接OC，
∵AB是直徑，∠A=30°
∴∠ABC=60°，
∴OB=OC=BC，
∵PC是切線，
∴∠PCB=∠A=30°，∠OGP=90°，
∴∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°=

PC

OC

=

PC

BC

，
∴PC=

3

BC，正確；

③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，
∴∠ABC=∠APC+∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠APC+2∠A=90°，
∵∠APC=30°，
∴∠A=∠PCB=30°，
∴PB=BC，∠ABC=60°，
∴OB=BC=OC，
∴PB=OB；正確；

④解：如圖，連接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°；正確；
故答案為：②③④；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作好輔助線構(gòu)建直角三角形和等腰三角形．