【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M(0,﹣1),與x軸交于A、B兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△MAB的形狀,并說明理由;
(3)過原點的任意直線(不與y軸重合)交拋物線于C、D兩點,連接MC,MD,試判斷MC、MD是否垂直,并說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M(0,﹣1),
∴ ,解得b=0,c=﹣1,
∴拋物線的解析式為:y=x2﹣1
(2)
解:△MAB是等腰直角三角形.
由拋物線的解析式為:y=x2﹣1可知A(﹣1,0),B(1,0),
∴OA=OB=OM=1,
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°,
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°,AM=BM,
∴△MAB是等腰直角三角形
(3)
解:MC⊥MD;
分別過C點,D點作y軸的平行線,交x軸于E、F,過M點作x軸的平行線交EC延長線于G,交DF于H,
設D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),
∴OE=﹣n,CE=1﹣n2,OF=m,DF=m2﹣1,
∵OM=1,
∴CG=n2,DH=m2,
∵EG∥DH,
∴ ,
即 = ,
m(1﹣n2)=﹣n(m2﹣1),
m﹣mn2=﹣m2n+n,
(m2n﹣mn2)=﹣m+n,
mn(m﹣n)=﹣(m﹣n),
∴mn=﹣1
解得m=﹣ ,
∵ = =﹣n, = = =﹣n,
∴ = ,
∵∠CGM=∠MHD=90°,
∴△CGM∽△MHD,
∴∠CMG=∠MDH,
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°,
∴∠CMD=90°,
即MC⊥MD.
【解析】(1)待定系數(shù)法即可解得.(2)由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1,得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形.(3)分別過C點,D點作y軸的平行線,交x軸于E、F,過M點作x軸的平行線交EC于G,交DF于H,設D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),通過EG∥DH,得出 ,從而求得m、n的關系,根據(jù)m、n的關系,得出△CGM∽△MHD,利用對應角相等得出∠CMG+∠DMH=90°,即可求得結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關知識,掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一條高速公路在城市A的東偏北30°方向直線延伸,縣城M在城市A東偏北60°方向上,測驗員從A沿高速公路前行4000米到達C,測得縣城M位于C的北偏西60°方向上,現(xiàn)要設計一條從縣城M進入高速公路的路線,請在高速公路上尋找連接點N,使修建到縣城M的道路最短,試確定N點的位置并求出最短路線長.(結果取整數(shù),≈1.732)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中考體育測試前,某區(qū)教育局為了了解選報引體向上的初三男生的成績情況,隨機抽測了本區(qū)部分選報引體向上項目的初三男生的成績,并將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
請你根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
()寫出扇形圖中__________,并補全條形圖.
()在這次抽測中,測試成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是__________個、__________個.
()該區(qū)體育中考選報引體向上的男生共有人,如果體育中考引體向上達個以上(含個)得滿分,請你估計該區(qū)體育中考中選報引體向上的男生能獲得滿分的有多少名?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)、如圖(1),AB∥CD,點P在AB、CD外部,若∠B=40°,∠D=15°,則∠BPD °.
(2)、如圖(2),AB∥CD,點P在AB、CD內(nèi)部,則∠B,∠BPD,∠D之間有何數(shù)量關系?證明你的結論;
(3)、在圖(2)中,將直線AB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點M,如圖(3),若∠BPD=90°,∠BMD=40°,求∠B+∠D的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知正比例函數(shù)與一次函數(shù)的
圖像交于點A.
(1)求點A的坐標;
(2)在y軸上確定點M,使得△AOM是等腰三角形,請直接寫出點M的坐標;
(3)如圖,設x軸上一點P(a,0),過點P作x軸的垂線(垂線位于點A的右側(cè)),分別交和的圖像于點B、C,連接OC,若BC=OA,求△ABC的面積及點B、點C的坐標;
(4)在(3)的條件下,設直線交x軸于點D,在直線BC上確定點E,使得△ADE的周長最小,請直接寫出點E的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(8分)某工廠通過科技創(chuàng)新,生產(chǎn)效率不斷提高.已知去年月平均生產(chǎn)量為120臺機器,今年一月份的生產(chǎn)量比去年月平均生產(chǎn)量增長了m%,二月份的生產(chǎn)量又比一月份生產(chǎn)量多50臺機器,而且二月份生產(chǎn)60臺機器所需要時間與一月份生產(chǎn)45臺機器所需時間相同,三月份的生產(chǎn)量恰好是去年月平均生產(chǎn)量的2倍.
問:今年第一季度生產(chǎn)總量是多少臺機器?m的值是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,CB∥OA,∠B=∠A=100°,E、F在CB上,且滿足∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF.
(1)求∠EOC的度數(shù);
(2)若平行移動AC,那么∠OCB:∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化?若變化,試說明理由;若不變,求出這個比值;
(3)在平行移動AC的過程中,是否存在某種情況,使∠OEB=∠OCA?若存在,求出∠OCA度數(shù);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】作圖題:如圖所示是每一個小方格都是邊長為1的正方形網(wǎng)格,
(1)利用網(wǎng)格線作圖:
①在上找一點P,使點P到和的距離相等;
②在射線上找一點Q,使.
(2)在(1)中連接與,試說明是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象經(jīng)過點A(1,m),過點A作AB⊥y軸于點B,且△AOB的面積為1.
(1)求m,k的值;
(2)若一次函數(shù)y=nx+2(n≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象有兩個不同的公共點,求實數(shù)n的取值范圍.
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