Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點A （8，0）．C （0.6），M是OA的中點．點P、Q從點M同時出發(fā)，點P沿MA的方向，以每秒1個單位的速度運動，點Q以相同的速度沿MO的方向運動，點Q到達點O后以相同的速度立即返回到點M，此時P、Q同時停止運動．設(shè)運動的時t（s），以PQ為一邊向上作正方形PQRL與矩形重疊的面積為S．
（1）當(dāng)t=1時，PQ=

 

，當(dāng)t=5時，PQ=

 

．
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）當(dāng)t=1時，根據(jù)速度公式計算出QM=1，PM=1，則PQ=2；當(dāng)t=5時，點Q運動到點O后又向M點運動了1秒，則QM=4-（5-4）×1=3，PM=5，所以PQ=8；
（2）如圖1，當(dāng)正方形PQRL的邊長不超過6，則2t≤3，解得t≤3，此時MQ=t，PM=t，PQ=2t，重疊部分為正方形，然后根據(jù)正方形面積公式得到S=4t²；
如圖2，當(dāng)正方形PQRL的邊長超過6，且點Q在由點M向點O運動時，即3＜t≤4，此時MQ=t，PM=t，PQ=2t，重疊部分為矩形，根據(jù)矩形的面積公式得到S=12t；
如圖3，當(dāng)正方形PQRL的邊長超過6，且點Q在由點O向點M運動時，即4＜t≤8，此時OQ=t-4，PQ=12-t，重疊部分為矩形，根據(jù)矩形的面積公式得S=72-6t．

解答：解：（1）∵點A （8，0）．C （0.6），M是OA的中點，
∴OM=AM=4，
當(dāng)t=1時，QM=1，PM=1，則PQ=1+1=2；
當(dāng)t=5時，QM=4-（5-4）×1=3，PM=5×1=5，則PQ=3+5=8；
故答案為2，8；
（2）如圖1，

當(dāng)正方形PQRL在正方形ABCO的內(nèi)部，即正方形PQRL的邊長不超過6，則2t≤3，解得t≤3，
所以當(dāng)0＜t≤3時，MQ=t，PM=t，PQ=2t，則S=PQ²=4t²；
如圖2，

當(dāng)正方形PQRL的邊長超過6，且點Q在由點M向點O運動時，則3＜t≤4，
所以當(dāng)3＜t≤4時，MQ=t，PM=t，PQ=2t，則S=6PQ=6×2t=12t；
如圖3，

當(dāng)正方形PQRL的邊長超過6，且點Q在由點O向點M運動時，則4＜t≤8，
所以當(dāng)4＜t≤8時，OQ=t-4，PQ=8-（t-4）=12-t，則S=6AQ=6（12-t）=72-6t，
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系為S=

4t2(0＜t≤3) 12t(3＜t≤4) -6t+72(4＜t≤8)

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形和正方形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會運用代數(shù)式解決有關(guān)動點的問題．