Question

如圖，正方形AOCD中，點(diǎn)B是OC上任意一點(diǎn)，以AB為邊作正方形ABEF．
①連接DF，求證：∠ADF=90°；
②連接CE，猜想∠ECM的度數(shù)，并證明你的結(jié)論；
③設(shè)點(diǎn)B在線段OC上運(yùn)動(dòng)，OB=x，正方形AOCD的面積為16，正方形ABEF的面積為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：∵正方形AOCD，
∴OA=AD，∠OAD=90°，
∵正方形ABEF，
∴AB=AF，∠BAF=90°，
∴∠OAB=∠DAF，
∴△AOB≌△ADF，
∴∠ADF=∠O=90°．

（2）猜想∠ECM的度數(shù)為45°
證明：如圖，過(guò)E點(diǎn)作EN⊥CD，垂足為N，
∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠NFE=90°，
∴∠DAF=∠NFE，
∵∠AOF=∠FNE=90°，AF=FE，
∴△ADF≌△FNE，
∴FD=EN，AD=FN，
∴CD=FN，
∴FD=CN=EN，
∵EN⊥CD，
∴三角形CEN為等腰直角三角形，
∴∠NCE=45°，
∴∠ECM=45°．

（3）解：∵∠O=90°，
∴AB=，
∵正方形AOCD的面積為16，
∴OA=4，
∴AB²=16+x²，
∴y=16+x²，
∵點(diǎn)B在線段OC上運(yùn)動(dòng)，
∴0＜x≤4．
分析：（1）根據(jù)三角形全等的判定定理，可以證得△AOB≌△ADF，進(jìn)而得出結(jié)論．
（2）過(guò)E作CD的垂線，得出所構(gòu)成的三角形為等邊三角形，繼而得出所求角的度數(shù)為45°．
（3）由正方形AOCD的面積，可以而出邊長(zhǎng)，又有OB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，得出正方形ABEF的邊長(zhǎng)，繼而求出面積，在邊OC上運(yùn)動(dòng)，則可得出x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，結(jié)合了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于綜合性的試題．