Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是正方形．點B坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點（m＜0），過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG和GH的長度；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得∠PBH=90°？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將D（-4，0），B（0，4）代入y=-x²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先求出拋物線與直線BC的交點為（-2，4）（0，4），得出點P在直線BC上方時，m的取值范圍，再根據(jù)P（m，-m²-3m+4），G（m，4），求出PG=-m²-m，再根據(jù)DE=HE=m+4，求出點H的坐標為（m，m+4），即可得出GH，
（3）在（2）的條件下，根據(jù)∠PBH=90°，求出∠CBP=45°，得出PG=BG=-m，再根據(jù)PG=-m²-m，得出-m=-m²-m，求出m=0，從而得出在（2）的條件下，不存在這樣的點P，使得∠PBH=90°．

解答：解：（1）∵四邊形OBCD是正方形，點B坐標為（0，4），
∴D點的坐標是（-4，0），
∵點B和點D在拋物線上，
∴

c=4 -16-4b+c=0

，
解得：

b=-3 c=4

，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²-3x+4；

（2）∵4=-m²-3m+4，解得m=-2或0，
∴拋物線與直線BC的交點為（-2，4）（0，4），
∴點P在直線BC上方時，m的取值范圍是：-2＜m＜0，
∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，
∴P（m，-m²-3m+4），G（m，4），
∴PG=-m²-3m+4-4=-m²-m，
∵四邊形OBCD是正方形，
∴DE=HE=m+4，
∴點H的坐標為（m，m+4），
∴GH=4-（m+4）=-m，

（3）在（2）的條件下，
若∠PBH=90°，
∵∠CBD=45°，
∴∠CBP=45°，
∴PG=BG=-m，
∵PG=-m²-m，
∴-m=-m²-m，
∴m=0，這與-2＜m＜0相矛盾，并且此時點P與點B重合，
∴在（2）的條件下，不存在這樣的點P，使得∠PBH=90°．

點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、線段的表示、正方形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，運用數(shù)形結合、方程思想是解題的關鍵．