Question

如圖，拋物線y=x²-4x+5頂點(diǎn)為M，平移直線y=x交拋物線于點(diǎn)H、K，若S_△MHK=3，求平移后直線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：幾何變換

分析：設(shè)平移后的直線解析式為y=x+b，利用配方法確定對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），直線y=x+b與直線x=2交于P點(diǎn)，則P（2，2+b）；設(shè)H、K的橫坐標(biāo)分別為a，b，則a、b為方程x²-4x+5=x+b的解，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到b-a=

4b+5

，把△MHK的面積分為△PMK和△PMH的面積和，它們的底邊都是PM，高的和為b-a，則S_△MHK=

1

2

•PM•（b-a）=3，所以（b+1）•

4b+5

=6，解得b=1，于是得到平移后的直線解析式為y=x+1．

解答：解：設(shè)平移后的直線解析式為y=x+b，
y=x²-4x+5=（x-2）²+1，
所以拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），
直線y=x+b與直線x=2交于P點(diǎn)，則P（2，2+b），
設(shè)H、K的橫坐標(biāo)分別為a，b，則a、b為方程x²-4x+5=x+b的解，
所以b-a=

(b+a)2-4ab

=

52-4(5-b)

=

4b+5

，
所以S_△MHK=

1

2

•PM•（b-a）=3，
即（b+1）•

4b+5

=6，
解得b=1．
所以平移后的直線解析式為y=x+1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．