Question

船在航行過程中，船長通常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險角”，當(dāng)船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁；當(dāng)船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，就能避免觸礁．
（1）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？
（2）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：幾何圖形問題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由圓周角定理與三角形外角的性質(zhì)，可得當(dāng)船位于⊙O內(nèi)時，兩個燈塔的夾角大于“危險角”；
（2）由圓周角定理與三角形外角的性質(zhì)，可得當(dāng)船位于⊙O內(nèi)時，兩個燈塔的夾角小于“危險角”．

解答：解：（1）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角α大于“危險角”時，船位于⊙O內(nèi)，
如圖（1），延長AP交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，
∵∠C=∠F，∠APB＞∠F，
∴∠APB＞∠C，
即α＞∠C，
∴當(dāng)船與兩個燈塔的夾角α大于“危險角”時，船位于⊙O內(nèi)；

（2）當(dāng)船與兩個燈塔的夾角α小于“危險角”時，船位于⊙O外．
如圖（2），連接BE，
∵∠AEB=∠C，∠AEB＞∠P，
∴∠C＞∠P，
即α＜∠C，
∴當(dāng)船與兩個燈塔的夾角α小于“危險角”時，船位于⊙O外．

點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．