Question

如圖，拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，連接DB，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠DBP=∠ABC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：存在型

分析：作DH⊥BC于H，PE⊥x軸于E，先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），則確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），則△OBC為等腰直角三角形，所以∠OBC=45°，BC=4

2

；由于CD∥AB，則∠BCD=45°，所以△CDH為等腰三角形，于是得到CH=DH=

2

2

CD；再把y=4代入y=-x²+3x+4可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），則CH=DH=

3 2

2

，BH=

5 2

2

，然后證明Rt△EBP∽Rt△HBD，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²+3x+4），利用相似比得到5x²-18x-8=0，解得x₁=-

2

5

，x₂=4，于是把x=-

2

5

代入拋物線解析式計(jì)算出對應(yīng)的函數(shù)值，從而可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：存在．
作DH⊥BC于H，PE⊥x軸于E，如圖，
令y=0，則-x²+3x+4=0，解得x₁=-1，x₂=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
令x=0，則y=4，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∵OB=OC=4，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=4

2

，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=45°，
∴△CDH為等腰三角形，
∴CH=DH=

2

2

CD，
把y=4代入y=-x²+3x+4得-x²+3x+4=4，解得得x₁=0，x₂=3，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴CD=3，
∴CH=DH=

3 2

2

，
∴BH=4

2

-

3 2

2

=

5 2

2

，
∵∠DBP=∠ABC=45°，
∴∠EBP=∠HBD，
∴Rt△EBP∽Rt△HBD，
∴

PE

DH

=

BE

BH

，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²+3x+4），
∴

-x2+3x+4

3 2 2

=

4-x

5 2 2

，
整理得5x²-18x-8=0，
解得x₁=-

2

5

，x₂=4，
當(dāng)x=-

2

5

時(shí)，y=-x²+3x+4=

66

25

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

5

，

66

25

）．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)．