Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點F是AC邊上一點，延長BC到點D，使BF=DF，若CD=CF，求證：

（1）點F為AC的中點；
（2）過點F作FE⊥BD，垂足為點E，請畫出圖形并證明BD=6CE．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵CF=CD，

∴∠CFD=∠D，

∴∠ACB=2∠D，即∠D= ∠ACB=30°，

∵FB=FD，

∴∠FBD=∠D=30°，

∴BF平分∠ABC，

∴AF=CF，即點F為AC的中點

（2）解：如圖，

在Rt△EFC中，CF=2CE，

而CD=CF，

∴CF=2CE，

在Rt△BCF中，BC=2CF，

∴BC=4CE，

∴BD=6CE．

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，則根據(jù)三角形外角性質得到∠ACB=2∠D，即∠D= ∠ACB=30°，然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30°，則BF平分∠ABC，于是根據(jù)等邊三角形的性質可得到點F為AC的中點；（2）如圖，過點F作FE⊥BD于E，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CF=2CE，而CD=CF，則CF=2CE，再利用BC=2CF，所以BD=6CE．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．