Question

如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于E，D在線段AB上，AD=AC，AF平分∠CAE交CE于F．
（1）求證：FD∥CB；
（2）若D在線段BA的延長線上，AF是∠CAD的角平分線AM的反向延長線，其他條件不變，如圖2，問（1）中結(jié)論是否仍成立？并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠DAF=∠CAF，即可證明△DAF≌△CAF，可得∠ACE=∠ADF，易證∠B=∠ACE，即可求得∠ADF=∠B，即可解題；
（2）作AG⊥DF，易證AE=AG，即可證明RT△ADG≌RT△AEC，可得∠D=∠ACE，易證∠ACE=∠B，即可求得∠D=∠B，即可解題．

解答：證明：（1）∵AF平分∠CAE，
∴∠DAF=∠CAF，
在△DAF和△CAF中，

AD=AC ∠DAF=∠CAF AF=AF

，
∴△DAF≌△CAF（SAS），
∴∠ACE=∠ADF，
∵∠ACE+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∴∠ADF=∠B，
∴DF∥BC；
（2）作AG⊥DF，如圖2，

∵AF平分∠CAE，CE⊥AE，
∴AE=AG，
在RT△ADG和RT△AEC中，

AG=AE AD=AC

，
∴RT△ADG≌RT△AEC（HL），
∴∠D=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴∠D=∠B，
∴DF∥BC．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△DAF≌△CAF和RT△ADG≌RT△AEC是解題的關(guān)鍵．