Question

【題目】如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm，AD=4cm，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x(秒)，△PBQ的面只為y(cm2).

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.
（2）求△PBQ的面積的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ = PBBQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，

∴y= x（18﹣2x），

即y= +9x（0＜x≤4）

（2）解：由（1）知，y= +9x（0＜x≤4），

∴y= ，

∵當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，y隨x的增大而增大，

而0＜x≤4，

∴當(dāng)x=4時(shí)， =20，

即△PBQ的最大面積是20

【解析】（1）抓住已知條件中的兩點(diǎn)的運(yùn)動方向：P在邊AB上沿AB方向，Q在邊BC上沿BC方向。先用含x的代數(shù)式表示出PB、BQ的長，根據(jù)三角形的面積公式，可求出函數(shù)解析式及自變量的取值范圍。
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，y隨x的增大而增大，再根據(jù)0＜x≤4，可得出△PBQ的面積的最大值。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對二次函數(shù)的最值的理解，了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．