Question

【題目】某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3（a≠0），當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上．

（1）請(qǐng)你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)所在直線的解析式；

（2）問(wèn)題（1）中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來(lái)嗎？并說(shuō)明理由；

（3）在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般﹣一特殊﹣一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將你的猜想表述出來(lái)嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3；（2）（0，3）；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）首先將拋物線y=ax2+2x+3轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，寫(xiě)出用a表示的頂點(diǎn)坐標(biāo)，消去a寫(xiě)出y關(guān)于x的表達(dá)式；

（2）觀察（1）中的頂點(diǎn)坐標(biāo)，≠0，即橫坐標(biāo)≠0，則縱坐標(biāo)≠3；

（3）首先寫(xiě)出拋物線的一般形式，再轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，代入一般式，驗(yàn)證縱坐標(biāo)也增加．

試題解析：（1）y=ax2+2x+3= ，

拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，

∴拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)所在直線的解析式為y=x+3；

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)-≠0，

∴（0，3）點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)；

（3）拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

由題意得A（），

把x=代入y=ax2+bx+c=a（）2+b（）+c=，

∴點(diǎn)A在拋物線y=ax2+bx+c上，同理點(diǎn)B也在拋物線y=ax2+bx+c上．