【題目】如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點E(m,0)(0<m<4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點P,過點P作PM⊥AB于點M.
(1)求a的值和直線AB的函數表達式;
(2)設△PMN的周長為C1 , △AEN的周長為C2 , 若 = ,求m的值;
(3)如圖2,在(2)條件下,將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′,旋轉角為α(0°<α<90°),連接E′A、E′B,求E′A+ E′B的最小值.
【答案】
(1)
解:令y=0,則ax2+(a+3)x+3=0,
∴(x+1)(ax+3)=0,
∴x=﹣1或﹣ ,
∵拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點A(4,0),
∴﹣ =4,
∴a=﹣ .
∵A(4,0),B(0,3),
設直線AB解析式為y=kx+b,則 ,
解得 ,
∴直線AB解析式為y=﹣ x+3
(2)
解:如圖1中,
∵PM⊥AB,PE⊥OA,
∴∠PMN=∠AEN,∵∠PNM=∠ANE,
∴△PNM∽△ANE,
∴ = ,
∵NE∥OB,
∴ = ,
∴AN= (4﹣m),
∵拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+3,
∴PN=﹣ m2+ m+3﹣(﹣ m+3)=﹣ m2+3m,
∴ = ,
解得m=2.
(3)
解:如圖2中,在y軸上 取一點M使得OM= ,
∵OE′=2,OMOB= ×3=4,
∴OE′2=OMOB,
∴ = ,∵∠BOE′=∠MOE′,
∴△MOE′∽△E′OB,
∴ = = ,
∴ME′= BE′,
∴AE′+ BE′=AE′+E′M=AM′,
此時AE′+ BE′最小,最小值=AM= =
【解析】(1)令y=0,求出拋物線與x軸交點,列出方程即可求出a,根據待定系數法可以確定直線AB解析式.(2)由△PNM∽△ANE,推出 = ,列出方程即可解決問題.(3)在y軸上 取一點M使得OM= ,構造相似三角形,可以證明AM就是E′A+ E′B的最小值.本題考查相似三角形的判定和性質、待定系數法、最小值問題等知識,解題的關鍵是構造相似三角形,找到線段AM就是E′A+ E′B的最小值,屬于中考壓軸題.
【考點精析】利用二次函數的最值和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數,那么函數在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,O為坐標原點.直線y=kx+b與拋物線y=mx2﹣ x+n同時經過A(0,3)、B(4,0).
(1)求m,n的值.
(2)點M是二次函數圖象上一點,(點M在AB下方),過M作MN⊥x軸,與AB交于點N,與x軸交于點Q.求MN的最大值.
(3)在(2)的條件下,是否存在點N,使△AOB和△NOQ相似?若存在,求出N點坐標,不存在,說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】解答
(1)閱讀理解:
我們把滿足某種條件的所有點所組成的圖形,叫做符合這個條件的點的軌跡.
例如:角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的軌跡.
問題:如圖1,已知EF為△ABC的中位線,M是邊BC上一動點,連接AM交EF于點P,那么動點P為線段AM中點.
理由:∵線段EF為△ABC的中位線,∴EF∥BC,
由平行線分線段成比例得:動點P為線段AM中點.
由此你得到動點P的運動軌跡是: .
(2)知識應用:
如圖2,已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動點,連結EF;若AF=BE,且等邊△ABC的邊長為8,求線段EF中點Q的運動軌跡的長.
(3)拓展提高:
如圖3,P為線段AB上一動點(點P不與點A、B重合),在線段AB的同側分別作等邊△APC和等邊△PBD,連結AD、BC,交點為Q.
①求∠AQB的度數;
②若AB=6,求動點Q運動軌跡的長.
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【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=8 ,AD=10,點E是CD中點,將這張紙片依次折疊兩次;第一次折疊紙片使點A與點E重合,如圖2,折痕為MN,連接ME、NE;第二次折疊紙片使點N與點E重合,如圖3,點B落到B′處,折痕為HG,連接HE,則tan∠EHG= .
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【題目】已知,A市到B市的路程為260千米,甲車從A市前往B市運送物資,行駛2小時在M地汽車出現故障,立即通知技術人員乘乙車從A市趕來維修(通知時間忽略不計),乙車到達M地后又經過20分鐘修好甲車后以原速原路返回A市,同時甲車以原來1.5倍的速度前往B市,如圖是兩車距A市的路程y(千米)與甲車所用時間x(小時)之間的函數圖象,下列四種說法:
①甲車提速后的速度是60千米/時;
②乙車的速度是96千米/時;
③乙車返回時y與x的函數關系式為y=﹣96x+384;
④甲車到達B市乙車已返回A市2小時10分鐘.
其中正確的個數是( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】甲開汽車,乙騎自行車從M地出發(fā)沿一條公路勻速前往N地,乙先出發(fā)一段時間后甲才出發(fā),設乙行駛的時間為t(h),甲乙兩人之間的距離為y(km),y與t的函數關系如圖1所示,其中點C的坐標為(,),請解決以下問題:
(1)甲比乙晚出發(fā)幾小時?
(2)分別求出甲、乙二人的速度;
(3)丙騎摩托車與乙同時出發(fā),從N地沿同一條公路勻速前往M地,若丙經過h與乙相遇.
①設丙與M地的距離為S(km),行駛的時間為t(h),求S與t之間的函數關系式(不用寫自變量的取值范圍)
②丙與乙相遇后再用多少時間與甲相遇.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD∥BC,交AB于點D,連接PQ分別從點A、C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設運動時間為t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代數式分別表示:QB= ,PD= .
(2)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.并探究如何改變Q的速度(勻速運動),使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度;
(3)如圖2,在整個運動過程中,求出線段PQ中點M所經過的路徑長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,點E為射線DC上一個動點,把△ADE沿直線AE折疊,當點D的對應點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時,則DE的長為_____.
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