【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P到點(diǎn)A、B和D的距離分別為1,2 , ,△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,連結(jié)PP′,并延長AP與BC相交于點(diǎn)Q.
(1)求證:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大。

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,

∴AB=AD,∠BAD=90°,

∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,

∴AP=AP′,∠PAP′=∠DAB=90°,

∴△APP′是等腰直角三角形


(2)解:∵△APP′是等腰直角三角形,

∴PP′= PA= ,∠APP′=45°,

∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,

∴PD=P′B= ,

在△PP′B中,PP′= ,PB=2 ,P′B= ,

∵( 2+(2 2=( 2,

∴PP′2+PB2=P′B2,

∴△PP′B為直角三角形,∠P′PB=90°,

∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°


【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD,∠BAD=90°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AP′,∠PAP′=∠DAB=90°,于是可判斷△APP′是等腰直角三角形;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′= PA= ,∠APP′=45°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PD=P′B= ,接著根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PP′B為直角三角形,∠P′PB=90°,然后利用平角定義計(jì)算∠BPQ的度數(shù).
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等腰直角三角形和正方形的性質(zhì),掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】一個(gè)口袋中有9個(gè)紅球和若干個(gè)白球,在不允許將球倒出來數(shù)的前提下,小明采用如下的方法估算其中白球的個(gè)數(shù):從口袋中隨機(jī)摸出一球,記下顏色,然后把它放回口袋中,搖勻后再隨機(jī)摸出一球,記下顏色…,小明重復(fù)上述過程共摸了100次,其中40次摸到白球,請(qǐng)回答:
(1)口袋中的白球約有多少個(gè)?
(2)有一個(gè)游樂場,要按照上述紅球、白球的比例配置彩球池,若彩球池里共有1200個(gè)球,則需準(zhǔn)備多少個(gè)紅球?

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【題目】如圖,在△ABC中,ABBC,BE⊥AC于點(diǎn)EAD⊥BC于點(diǎn)D,

∠BAD45°,ADBE交于點(diǎn)F,連接CF.

1)求證:BF2AE;

2)若CD,求AD的長.

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【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,小輝將邊長為3的兩個(gè)正方形放置在直線l上,如圖1,他連結(jié)AD、CF,經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)AD=CF

1)他將正方形ODEFO點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,如圖2,試判斷ADCF還相等嗎?說明你的理由;

2)他將正方形ODEFO點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上,如圖3,請(qǐng)你求出CF的長.

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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,OAC的中點(diǎn),AD//BC,AC=8,BD=6.

(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)若ACBD,求ABCD的面積.

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【題目】如圖,EF,GH分別是邊AB,BCCD,DA的中點(diǎn),連接EF,FG,GH,HE.

(1)判斷四邊形EFGH的形狀,并證明你的結(jié)論;

(2)當(dāng)BDAC滿足什么條件時(shí),四邊形EFGH是正方形?請(qǐng)說明理由.

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【題目】探索題

a是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形,然后按圖b的形狀拼成一個(gè)正方形.

(1)你認(rèn)為圖b中的影部分的正方形的邊長等于

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積.

方法1 (只列式,不化簡)

方法2 (只列式,不化簡)

(3)觀察圖b你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎?

代數(shù)式:(m+n)2,(m-n)2

(4)根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:若a+b=8,ab=5,則 (a-b)2=

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【題目】一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“美”、“麗”、“南”、“山”的四個(gè)小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先攪拌均勻再摸球.
(1)若從中任取一個(gè)球,求摸出球上的漢字剛好是“美”的概率;
(2)甲從中任取一球,不放回,再從中任取一球,請(qǐng)用樹狀圖或列表法,求甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成“美麗”或“南山”的概率.

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【題目】如圖1,直線MN//直線PQ,點(diǎn)A、B分別是直線MN、PQ上的兩點(diǎn).將射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),射線BQ繞點(diǎn)B順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后的射線分別記為AM′、BQ′,已知射線AM、射線BQ旋轉(zhuǎn)的速度之和為7度/秒.

(1)如果射線BQ 先轉(zhuǎn)動(dòng)30°后,射線AM、BQ′再同時(shí)旋轉(zhuǎn)10秒時(shí),射線AM′與BQ′第一次出現(xiàn)平行.求射線AM、BQ的旋轉(zhuǎn)速度;

(2)若射線AM、BQ分別以(1)中速度同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,在射線AM′與AN重合之前,求t為何值時(shí)AM′⊥BQ′;

(3)若∠BAN=45°,射線AMBQ分別以(1)中的速度同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,在射線AM′與AN重合之前,射線AM′與BQ′交于點(diǎn)H,過點(diǎn)HHCPQ,垂足為C,如圖2所示,設(shè)∠BAH=α,∠BHC=β,求αβ滿足的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)果.

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