【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BD為⊙O的直徑,BD與AC相交于點(diǎn)H,AC的延長線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E,且∠A=∠EBC.

(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)已知CG∥EB,且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G,若BGBA=48,F(xiàn)G= ,DF=2BF,求AH的值.

【答案】
(1)證明:連接CD,

∵BD是直徑,

∴∠BCD=90°,即∠D+∠CBD=90°,

∵∠A=∠D,∠A=∠EBC,

∴∠CBD+∠EBC=90°,

∴BE⊥BD,

∴BE是⊙O切線.


(2)解:∵CG∥EB,

∴∠BCG=∠EBC,

∴∠A=∠BCG,

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG,

= ,即BC2=BGBA=48,

∴BC=4 ,

∵CG∥EB,

∴CF⊥BD,

∴△BFC∽△BCD,

∴BC2=BFBD,

∵DF=2BF,

∴BF=4,

在Rt△BCF中,CF= =4 ,

∴CG=CF+FG=5 ,

在Rt△BFG中,BG= =3

∵BGBA=48,

即AG=5

∴CG=AG,

∴∠A=∠ACG=∠BCG,∠CFH=∠CFB=90°,

∴∠CHF=∠CBF,

∴CH=CB=4

∵△ABC∽△CBG,

=

∴AC= = ,

∴AH=AC﹣CH=


【解析】(1)連接CD,利用直徑上的圓周角為直角可得∠D+∠CBD=90°,再利用圓周角定理可得∠CBD+∠EBC=90°,進(jìn)而得證;
(2)先證△ABC∽△CBG,可得BC2=BGBA,從而求得BC的長,再由△BFC∽△BCD可得BF的長,進(jìn)而求得CH、BG、CG的長,再用△ABC∽△CBG利用對應(yīng)邊長比例求得AC的長,又AH=AC-CH可求得結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用三角形的外接圓與外心和切線的判定定理,掌握過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】王卉同學(xué)從家出發(fā)沿筆直的公路去晨練,他離開家的距離y()與時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(  )

①整個(gè)行進(jìn)過程花了30分鐘;

②整個(gè)行進(jìn)過程共走了1 000米;

③前10分鐘的速度越來越快;

④在途中停下來休息了5分鐘;

⑤返回時(shí)速度為100/分鐘.

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=110°,點(diǎn)E是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn),連結(jié)CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°,得到線段CF,連結(jié)BE,DF,若∠E=86°,求∠F的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)OAC的中點(diǎn),AC2AB,延長ABG,使BGAB,連接GOBCE,延長GOADF,連接AE

求證:(1ABC≌△AOG;

2)猜測四邊形AECF的形狀并證明你的猜想.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB//DG, ADEF,

(1)試說明: ;

(2) DG是∠ADC的平分線, ,求∠B的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點(diǎn)AB在運(yùn)動(dòng)的過程中,∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大。

(2)如圖2,已知AB不平行CD,ADBC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DECE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中,∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.

(3)如圖3,延長BAG,已知∠BAO、OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于EF,在AEF中,如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列運(yùn)算正確的是( )
A.aa2=a2
B.(ab)2=ab
C.31=
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】三角形的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角,叫做三角形的外角。如圖,點(diǎn)DBC延長線上一點(diǎn),則∠ACD為△ABC的一個(gè)外角。

求證:∠ACD=A+B

證明:過點(diǎn)CCEAB(過直線外一點(diǎn) )

∴∠B=

A=

∵∠ACD=1+2

∴∠ACD= +B(等量代換)

應(yīng)用:如圖是一個(gè)五角星,請利用上述結(jié)論求

A+B+C+D+E的值為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.A2,3),B3,1),C﹣2,﹣2)三點(diǎn)在格點(diǎn)上.

1作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1;

2)直接寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2的各點(diǎn)坐標(biāo);

3)求出△ABC的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案