Question

在平行四邊形中，分別為邊的中點，連接．

（1）求證：．（4分）

（2）若，則四邊形是什么特殊四邊形？請證明你的結論．（5分）

 

Answer 1

證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的對邊相等的性質可以得到AD=BC，AB=CD，又點E、F是AB、CD中點，所以AE=CF，然后利用邊角邊即可證明兩三角形全等；

（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明，連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形．

試題解析：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）是菱形．理由如下：

由（1）可得BE=DF，

又AB∥CD，

∴BEDF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴DFAE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∴EF∥AD，

∵AD⊥BD，

∴EF⊥BD，

又∵四邊形BFDE是平行四邊形，

∴四邊形BFDE是菱形．

考點：1.平行四邊形的判定與性質2.全等三角形的判定與性質3.菱形的判定．