Question

以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.

(1)請猜想四邊形ADEF是什么特殊四邊形？并說明理由.

(2)當△ABC滿足條件___________時，四邊形ADEF為矩形；

(3) 當△ABC滿足條件___________時，四邊形ADEF不存在.

 

 

Answer 1

(1) 四邊形ADEF是平行四邊形，證明見解析；

（2）∠BAC=150°；

（3）∠BAC=60°．

【解析】

試題分析：（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）根據(jù)∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．

試題解析：（1）四邊形ADEF是平行四邊形；

∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，

∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．

在△ABC和△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（SAS）．

∴DE=AC．

又∵AC=AF，

∴DE=AF．

同理可得EF=AD．

∴四邊形ADEF是平行四邊形;

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴當∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，

∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．

則當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，

此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．

．

考點：1.矩形的判定2.全等三角形的判定與性質(zhì)3.等邊三角形的性質(zhì)4.平行四邊形的判定．