Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得1分
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，
則有
解得
∴直線MB的解析式為y=-2x+6
∵PQ⊥x軸，OQ=m，
∴點P的坐標(biāo)為（m，-2m+6）
S_{四邊形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤x＜3）
=×1×3+（-2m+6+3）•m=-m²+m+；

（3）線段BM上存在點N（，），（2，2），（1+，4-）使△NMC為等腰三角形
CM=，CN=，MN=
①當(dāng)CM=NC時，，
解得x₁=，x₂=1（舍去）
此時N（，）
②當(dāng)CM=MN時，，
解得x₁=1+，x₂=1-（舍去），
此時N（1+，4-）
③當(dāng)CN=MN時，=
解得x=2，此時N（2，2）．
分析：（1）可根據(jù)OB、OC的長得出B、C兩點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）可將四邊形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC兩部分來求解．先根據(jù)拋物線的解析式求出A點的坐標(biāo)，即可得出三角形AOC直角邊OA的長，據(jù)此可根據(jù)上面得出的四邊形的面積計算方法求出S與m的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出M的坐標(biāo)，進而可得出直線BM的解析式，據(jù)此可設(shè)出N點的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系中兩點間的距離公式分別表示出CM、MN、CN的長，然后分三種情況進行討論：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根據(jù)上述三種情況即可得出符合條件的N點的坐標(biāo)．
點評：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點、等腰三角形的判定等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．