Question

【題目】如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平分線，交射線于點(diǎn).設(shè).

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或2.

【解析】

（1）由平行四邊形ABCD，得到AD與BC平行且相等，由兩直線平行得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出三角形BEF與三角形AGF相似，由相似得比例，把x＝1代入已知等式，結(jié)合比例式得到AG＝BE，AD＝AB，即可求出所求式子的值；

（2）設(shè)AB＝1，根據(jù)已知等式表示出AD與BE，由AD與BC平行，得到比例式，表示出AG與DG，利用兩角相等的三角形相似得到三角形GDH與三角形ABE相似，利用相似三角形面積之比等于相似比的平方列出y與x的函數(shù)解析式，并求出x的范圍即可；

（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)H在邊DC上時(shí)，如圖1所示；②當(dāng)H在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，分別利用相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

（1）在中，，，

.

，即，

.

，.

為的中點(diǎn)，

.

，即.

（2），

不妨設(shè).

則，.

，

.

，.

，

.

，

.

.

在中，，

.

.

.

.

（3）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，

，

.

.

，

.

.

解得.

②當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，

，

.

.

，

.

.

解得.

綜上所述，可知的值為或2.