Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)DE、DC、AE并延長AE交CD于F．
①說明AE=CD；
②若∠CAE=20°，求∠CDE的度數(shù)；
③猜想AF與CD的位置關(guān)系，并說明理由？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：①首先利用SAS證明△ABE≌△CBD，再由全等三角形的性質(zhì)即可得到AE=CD；
②由等腰直角三角形的性質(zhì)可求出∠BAE的度數(shù)，再利用外角和定理即可確定出∠EDC的度數(shù)；
③要證明AF⊥CD，利用已知條件證明∠AFC=90°即可．

解答：①證明：在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABC=∠CBD=90° BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD；
②解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=20°，
∴∠BAE=∠BDC=45°-20°=25°，
∴∠AEB=65°，
∴∠EDC=65°-25°=40°；
③AF⊥DC，理由如下：
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BCD+∠CEF=90°，
∴∠EFC=90°，
即AF⊥DC．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．