Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，恰與CD相切于點(diǎn)E，連接OD，OC，BE，
（1）若⊙O的半徑為6，AD、BC的長是（x-4）（x-8）=0的兩根，求△COD的面積．
（2）求證：OD∥BE．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OE，證出Rt△OAD≌Rt△OED，Rt△COE≌Rt△COB，利用S_△COD=S_△AOD+S_△BOC即可求得△COD的面積．
（2）由Rt△OAD≌Rt△OED，得出∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，利用同弦對圓周角是圓心角的一半，得出∠ABE=

1

2

∠AOE，利用同位角相等兩直線平行得到OD∥BE；

解答：（1）解：如圖，連接OE，
∵AD∥BC，AD＜BC，∠ABC=90°，
∴∠OAD=90°，
∵CD是⊙O的切線，
∴OE⊥CD，
在Rt△OAD和Rt△OED，

OA=OE OD=OD

，
∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）
同理可證：Rt△COE≌Rt△COB，
∵AD、BC的長是（x-4）（x-8）=0的兩根，
∴AD=4，BC=8，
∵OA=OB=6，
∴S_△COD=S_△AOD+S_△BOC=

1

2

OA•AD+

1

2

OB•BC=

1

2

×4×6+

1

2

×8×6=36；

（2）證明：∵Rt△OAD≌Rt△OED，
∴∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，
在⊙O中，∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE（同位角相等，兩直線平行）．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是綜合運(yùn)用，找準(zhǔn)線段及角的關(guān)系．