Question

如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)F，且AB=DE．
（1）求證：BD=BC；
（2）若BD=8cm，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根據(jù)AAS判斷△ABC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到BD=BC；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得到AC=BE，由E是BC的中點(diǎn)，得到BE=

1

2

BC=

1

2

BD=4．

解答：解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，

∠ACB=∠DBC ∠A=∠DEB AB=DE

，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC；
（2）∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE，
∵E是BC的中點(diǎn)，BD=8cm，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

BD=4cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目，找準(zhǔn)全等的三角形是解決本題的關(guān)鍵