Question

已知菱形ABCD，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，AF=5，∠ABF=90°，邊CD上有一點(diǎn)E，CE=1，∠CFE=45°，求菱形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：在BC上截取CG=CE，根據(jù)菱形的對(duì)稱(chēng)性可得∠CFG=∠CFE=45°，再求出∠BFG=∠BAC+45°，∠BGF=∠ACB+45°，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAC=∠ACB，然后求出∠BFG=∠BGF，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BF=BG，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：在BC上截取CG=CE，
由菱形的對(duì)稱(chēng)性，∠CFG=∠CFE=45°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠BFG=∠BAC+∠ABF-∠CFG=∠BAC+90°-45°=45°，∠BGF=∠ACB+45°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BFG=∠BGF，
∴BF=BG，
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則BF=x-1，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即x²+（x-1）²=5²，
整理得，x²-x-12=0，
解得x₁=-3（舍去），x₂=4．
答：菱形的邊長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線并求出BF=BG．