Question

【題目】如圖,將一個正方形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,其中A（1,0）,C（0,1）,P為AB邊上一個動點(diǎn),折疊該紙片,使O點(diǎn)與P點(diǎn)重合,折痕l與OP交于點(diǎn)M,與對角線AC交于Q點(diǎn)

（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0.25），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,t）

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）（直接寫出答案）

②求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含t的式子表示）（直接寫出答案）

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動時,∠QOP的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果你認(rèn)為不發(fā)生變化,寫出它的角度的大小.并說明理由；如果你認(rèn)為發(fā)生變化，也說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；（Ⅱ）① M（，t）；②Q點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；

（Ⅲ）不變化，∠QOP=45°，理由見解析.

【解析】解：（Ⅰ）過M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，如圖1，

由題意可知M為OP中點(diǎn)，∴E為OA中點(diǎn)，∴OE=OA=，ME=AP=，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；

（Ⅱ）①同（Ⅰ），當(dāng)P（1，t）時，可得M（，t）；

②設(shè)直線OP的解析式為y=kx，把P（1，t）代入可求得k=t，

∴直線OP解析式為y=tx，又l⊥OP，

∴可設(shè)直線MQ解析式為y=﹣x+b，且過點(diǎn)M（， ），

把M點(diǎn)坐標(biāo)代入可得=﹣+b，解得b=，∴直線l解析式為y=﹣x+，

又直線AC解析式為y=﹣x+1，

聯(lián)立直線l和直線AC的解析式可得 ，解得 ，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；

（Ⅲ）不變化，∠QOP=45°．理由如下：由（Ⅱ）②可知Q點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），

∴OQ2=PQ2=（）2+（）2=，

又P（1，t），∴OP2=1+t2，∴OQ2+QP2=OP2，

∴△OPQ是以O(shè)P為斜邊的等腰直角三角形，∴∠QOP=45°，即∠QOP不變化．