Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，及原點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且以、、，為頂點(diǎn)，為邊的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是拋物線(xiàn)上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，3）；（3）存在．符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是或（3，15）．

【解析】

（1）由于拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（-3，3）及原點(diǎn)O，待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)，，代入，可得：

，

解得：．

故函數(shù)解析式為：；

（2）當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DE∥AO，DE=AO，

由A（-2，0）知：DE=AO=2，
由四邊形AODE可知D在對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=-1右側(cè)，
則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線(xiàn)解析式得D（1，3）．
綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，3）；

（3）存在．理由如下：

如圖：，，

根據(jù)勾股定理得：，

，

，

，

是直角三角形，，

假設(shè)存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，

設(shè)，由題意知，，且，

①若，則，即，

得：，（舍去）．

當(dāng)時(shí)，，即,

②若，則，

即：，

得：，（舍去），

當(dāng)時(shí)，，即．

故符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是或（3，15）．