【題目】如圖,帆船A和帆船B在太湖湖面上訓(xùn)練,O為湖面上的一個(gè)定點(diǎn),教練船靜候于O點(diǎn),訓(xùn)練時(shí)要求A、B兩船始終關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng).以O為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,x軸、y軸的正方向分別表示正東、正北方向.設(shè)A、B兩船可近似看成在雙曲線y=上運(yùn)動(dòng),湖面風(fēng)平浪靜,雙帆遠(yuǎn)影優(yōu)美,訓(xùn)練中當(dāng)教練船與A、B兩船恰好在直線y=x上時(shí),三船同時(shí)發(fā)現(xiàn)湖面上有一遇險(xiǎn)的C船,此時(shí)教練船測(cè)得C船在東南45°方向上,A船測(cè)得AC與AB的夾角為60°,B船也同時(shí)測(cè)得C船的位置(假設(shè)C船位置不再改變,A、B、C三船可分別用A、B、C三點(diǎn)表示).
(1)發(fā)現(xiàn)C船時(shí),A、B、C三船所在位置的坐標(biāo)分別為A(_______,_______)、B(_______,_______)和C(_______,_______);
(2)發(fā)現(xiàn)C船,三船立即停止訓(xùn)練,并分別從A、O、B三點(diǎn)出發(fā)沿最短路線同時(shí)前往救援,設(shè)A、B兩船的速度相等,教練船與A船的速度之比為3:4,問(wèn)教練船是否最先趕到?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)A(2,2),B(-2,-2),C(2,-2);(2)教練船沒(méi)有最先趕到,理由見(jiàn)詳解.
【解析】
(1)A、B兩點(diǎn)直線y=x上和雙曲線y=,列方程組可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),在依題意判斷△ABC為等邊三角形,OA=2,則OC=OA=2,過(guò)C點(diǎn)作x軸的垂線CE,垂足為E,利用OC在第四象限的角平分線上求OE,CE,確定C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)分別求出AC、OC的長(zhǎng),分別表示教練船與A、B兩船的速度與時(shí)間,比較時(shí)間的大小即可.
解:(1)CE⊥x軸于E,解方程組
得,
∴A(2,2),B(-2,-2),
在等邊△ABC中可求OA=2,
則OC=OA=2,
在Rt△OCE中,,
∴C(2,-2);
(2)作AD⊥x軸于D,連AC、BC和OC,
∵A(2,2),
∴∠AOD=45°,AO=2,
∵C在O的東南45°方向上,
∴∠AOC=45°+45°=90°,
∵AO=BO,∴AC=BC,
又∵∠BAC=60°,
∴△ABC為正三角形,
∴AC=BC=AB=2AO=4,
∴,
由條件設(shè)教練船的速度為3m,A、B兩船的速度都為4m,
則教練船所用時(shí)間為,A、B兩船所用時(shí)間均為=,
∵=,=,
∴>;
∴教練船沒(méi)有最先趕到.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年3月,我市某中學(xué)舉行了“愛(ài)我中國(guó)朗誦比賽”活動(dòng),根據(jù)學(xué)生的成績(jī)劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)參加朗誦比賽的學(xué)生共有 人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m= ,n= ;C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形有圓心角為 度;
(3)學(xué)校欲從獲A等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,參加市舉辦的朗誦比賽,請(qǐng)利用列表法或樹(shù)形圖法,求獲A等級(jí)的小明參加市朗誦比賽的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到,如下是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
原題:如圖1,在平行四邊形中,點(diǎn)是邊上的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上一點(diǎn),的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn),若,求的值.
(1)嘗試探究
在圖1中,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),則和的數(shù)量關(guān)系是______,和的數(shù)量關(guān)系是______,的值是______;
(2)類(lèi)比延伸
如圖2,在原題的條件下,當(dāng)時(shí),參照問(wèn)題(1)的研究結(jié)論,請(qǐng)你猜想的值(用含的代數(shù)式表示),并證明你的猜想;
(3)拓展遷移
如圖3,梯形中,,點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),和相交于點(diǎn),當(dāng),時(shí),請(qǐng)你求出的值(用含、的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),交于點(diǎn),點(diǎn)在射線上,且是和的比例中項(xiàng).
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段之間,聯(lián)結(jié),且與互相垂直,求的長(zhǎng);
(3)聯(lián)結(jié),如果與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)所組成的三角形相似,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò),及原點(diǎn),頂點(diǎn)為.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,且以、、,為頂點(diǎn),為邊的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸,垂足為.是否存在這樣的點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰△ABC 紙板中, AB =AC=5 , BC = 2 ,P為AB上一點(diǎn),過(guò)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC 相似的小三角形紙板,恰有 3 種不同的剪法,那么BP長(zhǎng)可以為( ).
A.3.6B.2.6C.1.6D.0.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
| ﹣4 | ﹣4 | 0 | … |
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)E(4, y)是該拋物線上的點(diǎn),點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為點(diǎn)F,求點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)平面xOy中,點(diǎn)A坐標(biāo)為,,,AB與x軸交于點(diǎn)C,那么AC:BC的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y1=kx+1分別交x軸,y軸于點(diǎn)A.B,交反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象于點(diǎn)C,CD⊥y軸于點(diǎn)D,CE⊥x軸于點(diǎn)E,S△OAB=1,=.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為______;
(2)求直線和反比例函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象直接回答:在第一象限內(nèi),當(dāng)x取何值時(shí),y1≥y2.
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