Question

如圖，在菱形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，EF⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=BF；
（2）連接AF，BE，試判斷四邊形AFBE的形狀并說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（1）證法一：如圖：
記EF與AC交點(diǎn)為G，EF與AB的交點(diǎn)為M．
由（1）證得四邊形ABCD為菱形，
所以對(duì)角線AC平分∠A，
即∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG=AG，
∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．
又∵E為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為菱形，
∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．
又∵∠BMF=∠AME，
∴△BMF≌△AME．
∴BF=AE．
∴BF=DE．
證法二：如圖：連接BD
∵四邊形ABCD為菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四邊形BDEF是平行四邊形
∴BF=DE．

（2）∵AD∥BC，AE=ED=BF（已知），
∴四邊形AEBF為平行四邊形．
分析：（1）要證BF=DE，而在原題中已知AE=DE，所以證明的方向就變?yōu)樽CBF=AE，而證BF=AE則可以通過(guò)證△FBM≌△EAM來(lái)實(shí)現(xiàn)；
（2）有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，AE和BF既平行又相等，所以四邊形AEBF為平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的判定和平行四邊形的基本性質(zhì)，難易程度適中，解答此類題目需要同學(xué)們熟練菱形及平行四邊形的性質(zhì)及判定定理．