Question

如圖，矩形ABDC中，AB、AC長(zhǎng)分別為6和10，點(diǎn)E在邊CD上，將△ACE沿線段AE翻折，得到△AEF，點(diǎn)C落在BD邊上，AF、AE分別交對(duì)角線BC于點(diǎn)G、H，則GH的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,矩形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：先由折疊的性質(zhì)得出△ACE≌△AFE，則AC=AF=10，CE=FE，∠ACE=∠AFE=90°．在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF=

AF2-AB2

=8，則FD=2．再設(shè)CE=x，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程x²=（6-x）²+2²，解方程求出x=

10

3

，即CE=

10

3

．再在Rt△ACB中，利用勾股定理求出BC=2

34

，然后由△ABH∽△ECH，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出BH=

9

7

34

，同理由△BFG∽△CAG，求出BG=

8

9

34

，那么根據(jù)GH=BH-BG即可求出GH的長(zhǎng)．

解答：解：∵將△ACE沿線段AE翻折，得到△AEF，
∴△ACE≌△AFE，
∴AC=AF=10，CE=FE，∠ACE=∠AFE=90°．
在Rt△ABF中，∵∠ABF=90°，
∴BF=

AF2-AB2

=

102-62

=8，
∴FD=BD-BF=10-8=2．
設(shè)CE=x，則FE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，∵∠D=90°，
∴EF²=DE²+DF²，即x²=（6-x）²+2²，
解得x=

10

3

，
∴CE=

10

3

．
在Rt△ACB中，∵∠BAC=90°，
∴BC²=AC²+AB²=100+36=136，
∴BC=2

34

．
∵AB∥CE，
∴△ABH∽△ECH，
∴

BH

CH

=

AB

EC

，即

BH

2 34 -BH

=

6

10 3

，
解得BH=

9

7

34

．
∵BF∥AC，
∴△BFG∽△CAG，
∴

BG

CG

=

BF

CA

，即

BG

2 34 -BG

=

8

10

，
解得BG=

8

9

34

，
∴GH=BH-BG=

9

7

34

-

8

9

34

=

25

63

34

．
故答案為

25

63

34

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．