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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB4,BC3,點QBC上,BQ2,點PAB上的一個動點,連接PQ,將△PBQ沿PQ翻折,點B落在點B′.

1)當AP   時,四邊形PBQB′的面積是矩形面積的;

2)當AP為何值時,四邊形PBQB′是正方形?為什么?

3)在翻折過程中是否存在AP的值,使得點B′與矩形對稱中心點O重合,如果存在,請求出AP的值;如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)3;(2)當AP2時,四邊形PBQB'是正方形;(3)存在,AP4,

【解析】

1)先求得矩形ABCD的面積,可知S四邊形PBQB'6,根據折疊性質可知△PBQ的面積為3,利用三角形面積公式即可解決問題;

2)利用正方形的性質即可解答;

3)利用勾股定理求得BD,再利用矩形性質即可知BO,在利用勾股定理求得BE;最后利用相似即可解決問題.

解:(1)在矩形ABCD中,AB4,BC3,

S矩形ABCDABBC4×312,

∵四邊形PBQB′的面積是矩形面積的

S四邊形PBQB'S矩形ABCD×126,

由折疊知,△PBQ≌△PB'Q,

SPBQSPB'QS四邊形PBQB'3,

BQ3,

SPBQBQBP×2BP3,

BP3,

APABBP3,

故答案為:3

2)∵四邊形PBQB′是正方形,

BPBQ2

APABBP422,

即:當AP2時,四邊形PBQB'是正方形;

3)存在,理由:如圖,

連接BD,交PQE,則BD必過點O,

∵四邊形ABCD是矩形,

ABC=∠BAD90°,ADBC3,

根據勾股定理得,BD

O是矩形ABCD的中心,

BOBD×5,

當點B′與矩形對稱中心點O重合時,BEBO,

由折疊知,BOPQ,

∴∠BEQ90°,

RtBEQ中,BQ2

根據勾股定理得,EQ ,

∵∠BEQ=∠PBQ90°,∠BQE=∠PQB,

∴△BEQ∽△PBQ

,

,

PB

APABPB4,

練習冊系列答案
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