Question

已知一副三角板ABE與ACD．圖中∠ACD=30°，∠BAE=∠AEB=45°，∠ABE=∠CAD=90°．

（1）將兩個三角板如圖（1）放置，連結(jié)BD，計算∠1+∠2=

 

．
（2）將圖1中的三角板ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角∠α．
①在旋轉(zhuǎn)的過程中，當B點在直線CD的上方時，如圖2，探究∠α、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由？
②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當B點運動到直線CD的下方時，如圖3，探究∠α、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出此時的關(guān)系式．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）利用三角板ABE和ACD的角度和三角形的內(nèi)角和求出即可；
（2）①∠1+∠2=105°．如圖2，設(shè)AC與BE交于點N，BE與CD交于點F．易求∠CNE=45°+∠α，∠BFC=180-30°-45°-∠α=105°-∠α，則∠1+∠2=105°
②∠α-∠1+∠2=105°．理由如下：∠AFC=∠2+90°-∠1，∠CAB=60°+∠1-∠2．∠α=45°+60°+∠1-∠2=105°+∠1-∠2．所以∠α-∠1+∠2=105°．

解答：解：（1）由題意可知．
Rt△ABE為等腰直角三角形，Rt△ADC為含有60°角的直角三角形，
∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+30°=75°，
∴∠1+∠2=180°-∠BCD=105°．
故答案是：105°；

（2）①∠1+∠2=105°．
如圖2，設(shè)AC與BE交于點N，BE與CD交于點F
由題意可知∠BAC=45°-∠α
∠BNA=90°-（45°-α）=45°+∠α
∴∠CNE=45°+∠α
∴∠BFC=180°-30°-45°-∠α=105°-∠α
又∵∠1+∠2=∠BFC=115°-∠α
∴∠1+∠2+∠α=105°-∠α+∠α=105°，
即∠1+∠2=105°；

②∠α-∠1+∠2=105°．理由如下：
如圖3，設(shè)AB與DC相交于點F
由題意可知，∠AFC=∠2+90°-∠1
∴∠CAB=180°-90°+∠1-∠2-30°=60°+∠1-∠2
又∵∠BAE=45°
∴∠α=45°+60°+∠1-∠2=105°+∠1-∠2
∴∠α-∠1+∠2=105°．

點評：此題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角等知識．解答關(guān)于三角形內(nèi)角和定理的題目，需要知道三角形內(nèi)角和是180°．