Question

作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q，設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．

探究：

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察到的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)x的值；如果不可能，試說(shuō)明理由．21·世紀(jì)*教育網(wǎng)

 

Answer 1

(1) 證明：過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形（如圖1），∴NP＝NC＝MB．

∵∠BPQ＝90°∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°∴∠QPN＝∠PBM．

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB．………………… 2分

(2)由(1)知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．

設(shè)AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x ，………………… 3分

∴CQ＝CD－DQ＝1－2×x＝1－x

∴S_△PBC＝BC•BM＝×1×(1－x)＝－x，

S_△PCQ＝CQ•PN＝×(1－x)(1－x)＝－x＋x²，

∴S_{四邊形PBCQ}＝S_△PBC＋S_△PCQ＝x²－x＋1，               …………………………… 4分

即y＝x²－x＋1（0≤x＜）．                     …………………………… 5分2·1·c·n·j·y

(3)△PCQ可能成為等腰三角形．

①當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC上，由PQ²＝CQ²得：(1－ x)²＋(x) ²＝(1－x) ²

解得x₁＝0，x₂＝(舍去)；

②當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上（如圖2），由PC＝CQ得：－x＝x－1，

解得x＝1．

③當(dāng)點(diǎn)Q與C點(diǎn)重合，△PCQ不存在．

綜上所述，x＝0或1時(shí)，△PCQ為等腰三角形．…………………………… 8分（每種情況1分）