Question

如圖，點(diǎn)A、B、C、D在圓O上，且AB=AC．
（1）若D為弧

BC

上一點(diǎn)，如圖①，AD交BC于點(diǎn)E．求證：AB²=AD•AE；
（2）若D為弧

AC

上一點(diǎn)，AD交BC的延長線于點(diǎn)E，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)?jiān)趫D②中補(bǔ)出相應(yīng)圖形，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖1，作輔助線；證明△ABE∽△ADB，即可解決問題．
（2）如圖2，作輔助線；證明△ABE∽△ADB，即可解決問題．

解答：證明：（1）如圖1，連接BD；
則∠D=∠C；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABE=∠D；而∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．
（2）在圖2中，結(jié)論AB²=AD•AE仍然成立．理由如下：
如圖2，連接BD；
則∠ADB=∠ACB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABE=∠ADB；
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．

點(diǎn)評(píng)：該題以圓為載體，以考查圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．