【題目】已知△ACB中,∠C=90°,以點A為中心,分別將線段AB, AC 逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD, AE,連接DE,延長DE交CB于點F.
(1)如圖1,若∠B=30°,∠CFE的度數(shù)為_________;
(2)如圖2,當(dāng)30°<∠B<60°時,
①依題意補(bǔ)全圖2;
②猜想CF與AC的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【答案】(1) 120°;(2)①作圖見解析;②,證明見解析
【解析】
(1)先求出∠BAC=60°,進(jìn)而判斷出點E在邊AB上,得出△ADE≌△ABC(SAS),進(jìn)而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)①依題意補(bǔ)全圖形即可;
②先判斷出△ADE≌△ABC(SAS),進(jìn)而得出∠AEF=90°,即可判斷出Rt△AEF≌Rt△ACF,進(jìn)而求出∠CAF=∠CAE=30°,即可得出結(jié)論.
解:(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
由旋轉(zhuǎn)知,∠DAE=60°=∠CAB,
∴點E在邊AB上,
∵AD=AB,AE=AC,
∴△ADE≌△ABC(SAS),
∴∠AED=∠ACB=90°,
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°,
故答案為120°;
(2)①依題意補(bǔ)全圖形如圖2所示,
②如圖2,連接AF,
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠EAD=∠CAB,
∵AD=AB,AE=AC,
∴△ADE≌△ABC(SAS),
∴∠AED=∠C=90°,
∴∠AEF=90°,
∴Rt△AEF≌Rt△ACF,
∴∠EAF=∠CAF,
∴∠CAF=∠CAE=30°,
在Rt△ACF中,CF=AF,且AC2+CF2=AF2,
∴CF=AC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,過點B作BE⊥CD,垂足為E,連接AE.F為AE上一點,且∠BFE=∠C.
(1)試說明:△ABF∽△EAD;
(2)若AB=8,BE=6,AD=9,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC,使點A的對應(yīng)點D恰好落在邊AB上,點B的對應(yīng)點為E,連接BE.
(Ⅰ)求證:∠A=∠EBC;
(Ⅱ)若已知旋轉(zhuǎn)角為50°,∠ACE=130°,求∠CED和∠BDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=OB,點D是上一動點,點E是CD中點,連接BD分別交OC,OE于點F,G.
(1)求∠DGE的度數(shù);
(2)若=,求的值;
(3)記△CFB,△DGO的面積分別為S1,S2,若=k,求的值.(用含k的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C1:y=﹣x2+2x.
(1)補(bǔ)全表格:
拋物線 | 頂點坐標(biāo) | 與x軸交點坐標(biāo) | 與y軸交點坐標(biāo) | |
y=﹣x2+2x | (1,1) |
|
| (0,0) |
(2)將拋物線C1向上平移3個單位得到拋物線C2,請畫出拋物線C1,C2,并直接回答:拋物線C2與x軸的兩交點之間的距離是拋物線C1與x軸的兩交點之間距離的多少倍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)先化簡,再求值:其中,a是方程x2+3x+1=0的根.
(2)已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過點(1,4)和(5,0),試求該拋物線的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)先化簡,再求值:其中,a是方程x2+3x+1=0的根.
(2)已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過點(1,4)和(5,0),試求該拋物線的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A,B兩點,其中點A的坐標(biāo)為(﹣3,0).
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)已知a=1,C為拋物線與y軸的交點:
①若點P在拋物線上,且S△POC=4S△BOC,求點P的坐標(biāo);
②在拋物線的對稱軸上找出一點Q,使BQ+CQ的值最小,并求出點Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點,連接BD并延長至點C,使得CD=BD,連接AC交⊙O于點F連接AE、DE、DF.
(1)證明:∠E=∠C;
(2)若∠E=58°,求∠BDF的度數(shù).
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