Question

如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F．
（1）求證：BE=CF．
（2）若∠AOB=60°，AB=8，求矩形的面積．

Answer 1

考點：矩形的性質

專題：

分析：（1）根據矩形的性質求出OB=OC，根據AAS推出△BEO≌△CFO即可；
（2）求出等邊三角形AOB，求出AC，根據勾股定理求出BC，根據矩形的面積公式求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OB=OC，
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
在△BEO和△CFO中，

∠BOE=∠COF ∠BEO=∠CFO OB=OC

，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴BE=CF；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=AO=OB=8，
∴AC=16，
由勾股定理得：BC=

162-82

=8

3

，
∴矩形的面積是AB×BC=8×8

3

=64

3

．

點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理，等邊三角形的性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，注意：矩形的對角線互相平分且相等．