Question

如圖①所示，矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處，折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP，OP，OA，△PDA的面積是△OCP的面積的4倍．

（1）求證：△OCP∽△PDA；
（2）求邊AB的長(zhǎng)；
（3）連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．
①按上面的敘述在圖②中畫出正確的圖象；
②當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用折疊和矩形的性質(zhì)可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可證得相似；
（2）利用面積比可求得PC的長(zhǎng)，在Rt△APD中利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)；
（3）①結(jié)合描述畫出圖形即可，②作MQ∥AN交PB于點(diǎn)Q，利用條件證明△MFQ≌△NFB，得到EF=

1

2

PB，且可求出PB的長(zhǎng)，可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC，
∴△OCP∽△PDA；
（2）解：∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴

CP

DA

=

1 4

=

1

2

，
∴CP=4，
設(shè)AB=x，則AP=x，DP=x-4，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得AP²=AD²+DP²，
即x²=8²+（x-4）²，解得x=10，
即邊AB的長(zhǎng)為10；
（3）解：①如圖所示，

②EF的長(zhǎng)度不變，理由如下：
作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如上圖，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，
∴∠∠APB=∠MQP，
∴MP=MQ，
∵M(jìn)E⊥PQ，
∴PE=EQ=

1

2

PQ，
∵BN=PN，MP=MQ，
∴BN=QM，
∵M(jìn)Q∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，

∠QMF=∠BNF ∠QFM=∠BFN QM=BN

，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=BF，
∴QF=

1

2

QB，
∴EF=EQ+QF=

1

2

PQ+

1

2

QB=

1

2

PB，
又由（1）可知在Rt△PBC中，BC=8，PC=4，
∴PB=4

5

，
∴EF=2

5

，
即EF的長(zhǎng)度不變．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．在（1）中掌握好相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求得PC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）的②中把EF用PB表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵．注意方程思想的應(yīng)用．本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．