【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,垂足為D,點(diǎn)P是邊AB上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PF∥AC交線段BD于點(diǎn)F,作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)G,設(shè)BP=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段DG的長;
(2)設(shè)△DEF的面積為 y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)△PEF能否為直角三角形?如果能,求出BP的長;如果不能,請說明理由.
【答案】(1);(2)();(3)能,或
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=3,通過證明△ABD∽△GBP,可得BG=BP=x,即可得DG的長度;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得FD=BD-BF=3-x,DE=x-,根據(jù)三角形面積公式可求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)分EF⊥PG,EF⊥PF兩種情況討論,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求BP的長.
(1)∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,
∴BD=CD=3,
在Rt△ABD中,AD==4,
∵∠B=∠B,∠ADB=∠BPG=90°,
∴△ABD∽△GBP,
∴,
∴BG=BP=x,
∴DG=BG-BD=x-3;
(2)∵PF∥AC,
∴△BFP∽△BCA,
∴,
即,
∴BF=x,
∴FD=BD-BF=3-x,
∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD,
∴∠ABD=∠DEG,∠ADG=∠ADB=90°,
∴△DEG∽△DBA,
∴,
∴,
∴DE=x-,
∴S△DEF=y=×DF×DE=×(3-x)×(x-)=-x2+x-(<x<);
(3)若EF⊥PG時,
∵EF⊥PG,ED⊥FG,
∴∠FED+∠DEG=90°,∠FED+∠EFD=90°,
∴∠EFD=∠DEG,且∠EDF=∠EDG,
∴△EFD∽△GDE,
∴,
∴ED2=FD×DG,
∴(x-)2=(3-x)(x-3),
∴5×57x2-1138x+225×5=0,
∴x=(不合題意舍去),x=;
若EF⊥PF,
∴∠PFB+∠EFD=90°,且∠PFB=∠ACB,∠ACB+∠DAC=90°,
∴∠EFD=∠DAC,且∠EDF=∠ADC=90°,
∴△EDF∽△CDA,
∴,
∴,
∴x=,
綜上所述:當(dāng)BP為或時,△PEF為直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某飛機(jī)場東西方向的地面l上有一長為1 km的飛機(jī)跑道MN(如圖),在跑道MN的正西端14.5千米處有一觀察站A.某時刻測得一架勻速直線降落的飛機(jī)位于點(diǎn)A的北偏西30°,且與點(diǎn)A相距15千米的B處;經(jīng)過1分鐘,又測得該飛機(jī)位于點(diǎn)A的北偏東60°,且與點(diǎn)A相距5千米的C處.
(1)該飛機(jī)航行的速度是多少千米/小時?(結(jié)果保留根號)
(2)如果該飛機(jī)不改變航向繼續(xù)航行,那么飛機(jī)能否降落在跑道MN之間?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等腰三角形ABC的底角為30°,以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D,過D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)證明:DE為⊙O的切線;
(2)連接OE,若BC=4,求△OEC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一張矩形紙片,長10cm,寬6cm,在它的四角各減去一個同樣的小正方形,然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是32cm2,求剪去的小正方形的邊長.設(shè)剪去的小正方形邊長是xcm,根據(jù)題意可列方程為( 。
A. 10×6﹣4×6x=32 B. (10﹣2x)(6﹣2x)=32
C. (10﹣x)(6﹣x)=32 D. 10×6﹣4x2=32
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.
(1)求k的值.
(2)根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上不與A,B重合的一個動點(diǎn),點(diǎn)Q是y軸上的一個動點(diǎn).
(1)請直接寫出a,k,b的值及關(guān)于x的不等式ax2<kx﹣2的解集;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時,請求出△PAB面積的最大值并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在以P,Q,A,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,點(diǎn)D是⊙O 上一點(diǎn),⊙O的切線CB與AD的延長線交于點(diǎn)B,點(diǎn)F是直徑AC上一點(diǎn),連接DF并延長交⊙O于點(diǎn)E,連接AE.
(1)求證:∠ABC=∠AED;
(2)連接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的對稱軸為直線x=﹣1,下列結(jié)論正確的有_____(填序號).
①若圖象過點(diǎn)(﹣3,y1)、(2,y2),則y1<y2;
②ac<0;
③2a﹣b=0;
④b2﹣4ac<0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】周末小明約上小亮一起到馬山公園游玩,如圖所示,小明從家(A點(diǎn))出發(fā),沿著北偏西60°方向的道路行走2千米到達(dá)小亮家(B點(diǎn)),然后兩人再沿著北偏東45°方向一起去馬山公園(C點(diǎn)),到達(dá)馬山公園后小明發(fā)現(xiàn)自己家(A點(diǎn))正好在馬山公園(C點(diǎn))的正南方向,求小明家(A家)到馬山公園(C點(diǎn))的距離.
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