Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)y= （k≠0，x＞0）的圖像與直線y=3x相交于點(diǎn)C，過(guò)直線上點(diǎn)A（1，3）作AB⊥x軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)D，且AB=3BD．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和d=MC+MD最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，3），

∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，

∴BD=1，

∴D（1，1）

將D坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=1

（2）解：由（1）知，k=1，

∴反比例函數(shù)的解析式為；y= ，

解： ，

解得： 或 ，

∵x＞0，

∴C（ ， ）

（3）解：如圖，作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于M，

則d=MC+MD最小，

∴C′（﹣ ， ），

設(shè)直線C′D的解析式為：y=kx+b，

∴ ，∴ ，

∴y=（3﹣2 ）x+2 ﹣2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2 ﹣2，

∴M（0，2 ﹣2）．

【解析】（1）根據(jù)A坐標(biāo)，以及AB=3BD求出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值；（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；（3）作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，得到C′（﹣ ， ），求得直線C′D的解析式為y=﹣ x+1+ ，直線與y軸的交點(diǎn)即為所求．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)，掌握已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．